Яким способом можна обчислити площу фігури, яка утворюється обмежуванням параболою y=8-x^2 та прямою y=x^2?

Тема: Площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

Пояснение: Для вычисления площади фигуры, образованной ограничением параболой y=8-x^2 и прямой y=x^2, необходимо найти точки их пересечения и на основе этих точек определить границы интегрирования. Затем можно использовать интеграл для вычисления площади.

Первым шагом найдем точки пересечения параболы и прямой. Подставим уравнения вместе и решим уравнение:

8-x^2 = x^2

2x^2 = 8

x^2 = 4

x = ±2

Теперь мы знаем, что точки пересечения находятся в точках (-2, 4) и (2, 4).

Для вычисления площади между кривыми воспользуемся интегралом. Так как прямая y=x^2 находится над параболой y=8-x^2, то пределы интегрирования будут от -2 до 2:

Площадь = ∫(8-x^2 - x^2)dx от -2 до 2

= ∫(8-2x^2)dx от -2 до 2

= ∫8dx - ∫2x^2dx от -2 до 2

= 8x - (2/3)x^3 от -2 до 2

= (8(2) - (2/3)(2)^3) - (8(-2) - (2/3)(-2)^3)

= 16 - (16/3) + 16 + (16/3)

= 32

Таким образом, площадь фигуры, образованной ограничением параболой y=8-x^2 и прямой y=x^2, равна 32.

Совет: При решении подобных задач, всегда важно точно определить точки пересечения кривых. Разберитесь с уравнениями и система задач внимательно, чтобы не пропустить какую-либо информацию.

Задание: Обчислите площадь фигуры, образованной ограничением параболой y=6-x^2 та прямою y=x^2. Ответ дайте с обоснованием.