МІНІМ 14. Взят фігурний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1 з основами ABCD і A1B1C1D1, які є квадратами. Отрізок, що сполучає

Суть вопроса: Параллелепипеды
Пояснение: Для решения данной задачи потребуется использовать знания о свойствах параллелепипеда.

а) Чтобы доказать, что прямые CC1 и BD перпендикулярны, нам нужно показать, что вектор CC1 перпендикулярен вектору BD.

Вектор CC1 - это вектор, направленный от вершины C до центра основы A1B1C1D1 (озн. Cc).
А вектор BD - это вектор, направленный от вершины B до вершины D (озн. B->D).

Поскольку отрезок, соединяющий вершину C с центром основы A1B1C1D1, перпендикулярен к основе, вектор CC1 будет перпендикулярен основе A1B1C1D1.
Из свойства параллелепипеда следует, что диагональ параллелепипеда является перпендикуляром к его граням. Поэтому вектор BD перпендикулярен основе ABCD и, соответственно, вектору CC1.

б) Чтобы найти расстояние между прямыми A1C и AB, мы можем использовать формулу для расстояния между прямыми в трехмерном пространстве.

Формула для расстояния между двумя параллельными прямыми задается как |(p1 - p2) · n| / |n|,
где p1 и p2 - произвольные точки на прямых, n - вектор, перпендикулярный обеим прямым.

Прямая A1C проходит через вершины A1 и C (озн. A1C).
Прямая AB проходит через вершины A и B (озн. AB).
Обе прямые лежат на плоскости, перпендикулярной основе ABCD и основе A1B1C1D1.

Поэтому мы можем выбрать любые две точки на прямых (например, A1 и C для A1C, и A и B для AB),
и найти вектор, перпендикулярный обеим прямым. Затем мы можем использовать формулу для расстояния между прямыми,
подставив соответствующие значения и вычислить расстояние.

Например:
а) Чтобы доказать, что прямые CC1 и BD перпендикулярны, нужно показать, что вектор CC1 перпендикулярен вектору BD.
Мы знаем, что отрезок, соединяющий вершину С с центром основы A1B1C1D1, перпендикулярен основе.
Следовательно, вектор CC1 перпендикулярен основе A1B1C1D1.
Из свойств параллелепипеда следует, что диагональ параллелепипеда (BD) является перпендикуляром к его граням.
Таким образом, прямые CC1 и BD перпендикулярны.

б) Чтобы найти расстояние между прямыми A1C и AB, нам нужно выбрать две точки на каждой прямой.
Давайте возьмем точки A1(0, 0, 0) и C(6, 0, 0) для прямой A1C,
и точки A(0, 0, 0) и B(0, 6, 0) для прямой AB.
Теперь нам нужно найти вектор, перпендикулярный обеим прямым.
Для этого мы можем использовать векторное произведение векторов, направленных от произвольной точки одной прямой к произвольной точке другой прямой.
После нахождения вектора, перпендикулярного прямым, мы можем использовать формулу для расстояния между прямыми, чтобы найти искомое расстояние.

Совет: Чтобы лучше понять свойства параллелепипеда, можно нарисовать его трехмерное изображение и отметить основы, грани, вершины и диагонали. Также полезно решать дополнительные задачи с использованием данной геометрической фигуры.

Практика: Найти объем данного фигурного параллелепипеда, если сторона основы параллелепипеда равна 5, а высота равна 7.

Тема: Геометрия - фігурний паралелепіпед

Пояснення:
Для розв"язання цієї задачі, спочатку доведемо першу частину (а), а потім перейдемо до другої частини (б).

а) Для доведення перпендикулярності прямих CC1 і BD спочатку звернемо увагу на те, що CC1 - це відрізок, що сполучає вершину Сс з центром основи a1b1c1d1, а BB1 є діагоналлю квадрата ABCD. Випишемо трикутні формули між прямокутними трикутниками Д1СсС і ДВВ1:

в квадратному паралелограмі Д1СсС:
1) CC1^2 = CSs^2 + SCs^2;
в прямокутному трикутнику ДВВ1:
2) BB1^2 = DV^2 + VB^2.

Так як фігурний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1 з основами ABCD і A1B1C1D1, що є квадратами, то DV = VB = a1b1c1d1/2 = 6 / 2 = 3.

Далі, знаючи, що CSs = BC1 / 2, можемо записати наступне:
CC1^2 = (BC1 / 2)^2 + (BC1 / 2)^2.

Також, знаючи, що BC1 = sqrt(2) * BC (з теореми Піфагора для квадратного трікутника ABC), можемо продовжити наступним чином:
CC1^2 = (sqrt(2) * BC / 2)^2 + (sqrt(2) * BC / 2)^2,
CC1^2 = 2 * BC^2 / 4 + 2 * BC^2 / 4,
CC1^2 = BC^2 / 2 + BC^2 / 2,
CC1^2 = BC^2.

Далі, зі співвідношення BB1^2 = DV^2 + VB^2 і полученого раніше виразу CC1^2 = BC^2, ми бачимо, що CC1^2 = BB1^2.
Оскільки квадрат довжини відрізку CC1 співпадає з квадратом довжини відрізку BB1, то прямі CC1 і BD перпендикулярні.

б) Знаючи, що сторона основи паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 дорівнює 6, а бічне ребро дорівнює sqrt(34), ми можемо використовувати трикутник ABC, щоб знайти відстань між прямими A1C і AB.

AB являє собою діагональ квадрата ABCD, тому AB^2 = 2 * (BC^2).

Знаючи, що BC = 6, ми можемо продовжити наступним чином:
AB^2 = 2 * (6^2),
AB^2 = 2 * 36,
AB^2 = 72.

Далі, відстань між прямими A1C і AB можна обчислити, використовуючи формулу відстані між паралельними площинами (якщо пряма A1C перетинає площину AB):

Відстань між прямими A1C і AB = A1C / sqrt(1 + (AB^2 / CD^2)),
відстань між прямими A1C і AB = 6 / sqrt(1 + (72 / 36^2)).

Отримавши значення цієї виразу, ми отримаємо відстань між прямими A1C і AB.

Приклад використання:
а) Доведіть, що прямі CC1 і BD перпендикулярні.
б) Знайдіть відстань між прямими A1C і AB, якщо сторона основи паралелепіпеда дорівнює 6, а бічне ребро дорівнює sqrt(34).

Порада: У цій задачі, велике значення мають знання про геометричні фігури, основи і формули для розрахунків площин, відстаней та сторін. У разі потреби перерозв"язання складніших задач з фігурними паралелепіпедами, рекомендується ознайомитися з додатковою літературою про цю тему.

Вправа: Знайти площу поверхні фігурного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1, якщо сторона його основи дорівнює 5, а бічне ребро - 8.