Яка міра кута BKC, якщо у трикутнику ABC проведено бісектриси BM і CN, які перетинаються в точці K і міра кута

Тема: Кутові бісектриси
Пояснення: Кутова бісектриса - це лінія, яка ділить кут пополам, розділяючи його на два рівних кути. У даній задачі нам треба знайти міру кута BKC, якщо кут A має міру 120°, а бісектриси BM і CN перетинаються в точці K.

Звернемо увагу на факт, що бісектриса розділяє протилежну сторону трикутника на дві частини, пропорційні до довжин інших двох сторін. Застосуємо цей факт до нашої задачі.

Ми знаємо, що кут A має міру 120°, тому ми можемо побудувати трикутник ABC з таким кутом. Далі, ми проведемо бісектриси BM і CN, які перетинаються в точці K, ділені дві сторони трикутника на пропорціональні частини. Оскільки кут BKC є пополам кута BAC, то ми можемо знайти міру цього кута, знаючи пропорцію довжин відносно кута A і кута BKC.

Нехай сторона AB має довжину a, сторона BC - довжину b, а сторона AC - довжину c. Оскільки бісектриса ділить сторону пропорційно, то відповідні пропорції будуть BM:MA = b:a та CN:NA = c:a.

Застосуємо ці пропорції до нашого випадку: BM:MA = b:a, отже, BM/a = b/a, а значить, BM = b. Аналогічно, CN = c.

За теоремою попереду, кут BKC є пополам кута BAC, тому застосуємо пропорцію: BKC = 120°/2.

Тому міра кута BKC дорівнює 60°.

Приклад використання: У трикутнику ABC міра кута A дорівнює 120°. Знайдіть міру кута BKC, якщо бісектриси BM і CN перетинаються в точці K.

Рекомендації: Для кращого розуміння кутових бісектрис, подумайте про те, як вони ділять кут на дві рівні частини. Зверніть увагу на пропорційність сторін, що утворюються бісектрисою. Практикуйте розв'язування задач, де потрібно знайти міру кута з використанням кутових бісектрис.

Вправа: У трикутнику XYZ міра кута X дорівнює 90°. Знайдіть міру кута YZC, якщо бісектриси XY і XZ перетинаються в точці X.