Выполните следующие действия для данных пар векторов: 1. Определите координаты вектора, полученного сложением векторов

Тема занятия: Работа с векторами

Описание:
1. Чтобы определить координаты вектора, полученного сложением векторов a ⃗ и b ⃗, нужно сложить соответствующие координаты векторов a ⃗ и b ⃗. Например, если a ⃗ = (a1, a2, a3) и b ⃗ = (b1, b2, b3), то вектор, полученный сложением, будет равен c ⃗ = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).

2. Чтобы определить координаты вектора, полученного вычитанием вектора b ⃗ из вектора (2a) ⃗, нужно умножить вектор a ⃗ на 2 и затем вычесть вектор b ⃗. То есть (2a) ⃗ - b ⃗ = (2a1 - b1, 2a2 - b2, 2a3 - b3).

3. Для нахождения длины вектора, нужно использовать формулу длины вектора. Для вектора a ⃗ с координатами (a1, a2, a3) длина будет равна √(a1^2 + a2^2 + a3^2). Аналогично, для вектора b ⃗ с координатами (b1, b2, b3) длина будет равна √(b1^2 + b2^2 + b3^2).

4. Скалярное произведение векторов a ⃗ и b ⃗ можно вычислить, умножив соответствующие координаты векторов и сложив полученные произведения. То есть a ⃗ • b ⃗ = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3.

5. Чтобы найти значение Cosα между векторами a ⃗ и b ⃗, нужно использовать формулу cosα = (a ⃗ • b ⃗) / (|a ⃗ | * |b ⃗ |), где |a ⃗ | и |b ⃗ | - длины векторов a ⃗ и b ⃗ соответственно.

Доп. материал:
1. a ⃗ = (-3, 4, 0), b ⃗ = (5, -1, 7)
1. c ⃗ = a ⃗ + b ⃗ = (-3 + 5, 4 + (-1), 0 + 7) = (2, 3, 7)
2. d ⃗ = (2a) ⃗ - b ⃗ = (2 * (-3) - 5, 2 * 4 - (-1), 2 * 0 - 7) = (-11, 9, -7)
3. |a ⃗ | = √((-3)^2 + 4^2 + 0^2) = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5
|b ⃗ | = √(5^2 + (-1)^2 + 7^2) = √(25 + 1 + 49) = √75 ≈ 8.66
4. a ⃗ • b ⃗ = (-3 * 5) + (4 * (-1)) + (0 * 7) = -15 - 4 + 0 = -19
5. cosα = (-19) / (5 * 8.66) ≈ -0.437

2. a ⃗ = (2, 7, 5), b ⃗ = (-5, 2, 7)
1. c ⃗ = a ⃗ + b ⃗ = (2 + (-5), 7 + 2, 5 + 7) = (-3, 9, 12)
2. d ⃗ = (2a) ⃗ - b ⃗ = (2 * 2 - (-5), 2 * 7 - 2, 2 * 5 - 7) = (9, 12, 3)
3. |a ⃗ | = √(2^2 + 7^2 + 5^2) = √(4 + 49 + 25) = √78 ≈ 8.83
|b ⃗ | = √((-5)^2 + 2^2 + 7^2) = √(25 + 4 + 49) = √78 ≈ 8.83
4. a ⃗ • b ⃗ = (2 * (-5)) + (7 * 2) + (5 * 7) = -10 + 14 + 35 = 39
5. cosα = 39 / (8.83 * 8.83) ≈ 0.506

Совет: Для лучшего понимания работы с векторами, полезно изучить основные понятия линейной алгебры, такие как сложение векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов, а также свойства этих операций. Чтение учебников и прорешивание задач помогут закрепить материал.

Дополнительное задание: Даны векторы a ⃗ = (3, -2, 5) и b ⃗ = (-6, 1, 4). Выполните следующие действия:
1. Определите координаты вектора, полученного сложением векторов a ⃗ и b ⃗.
2. Определите координаты вектора, полученного вычитанием вектора b ⃗ из вектора (2a) ⃗.
3. Найдите длину вектора a ⃗ и вектора b ⃗.
4. Вычислите скалярное произведение векторов a ⃗ и b ⃗.
5. Найдите значение Cosα между векторами a ⃗ и b ⃗.