Какое уравнение представляет собой эллипс с вершинами в точках (-5;0) и (5;0), и фокусами в точках (-3;0) и (3;0)?

Содержание вопроса: Уравнение эллипса

Разъяснение: Уравнение эллипса с вертикальным положением осей координат имеет следующий вид: ${(x-h)^2}/a^2 + {(y-k)^2}/b^2 = 1$, где $(h,k)$ - координаты центра эллипса, $a$ - полуось по оси $x$, и $b$ - полуось по оси $y$.

В данной задаче у нас есть вершины и фокусы эллипса. Зная, что вершины находятся в точках (-5;0) и (5;0), а фокусы в точках (-3;0) и (3;0), мы можем определить полуоси $a$ и $b$. Полуось $a$ равна расстоянию от центра эллипса до вершины или фокуса по оси $x$. Так как расстояние от центра до вершины равно 5, полуось $a=5$. Аналогично, полуось $b$ равна расстоянию от центра эллипса до вершины или фокуса по оси $y$. Так как расстояние от центра до фокуса равно 3, полуось $b=3$.

Теперь, зная значения $h$, $k$, $a$ и $b$, мы можем записать уравнение эллипса: ${(x-0)^2}/5^2 + {(y-0)^2}/3^2 = 1$. Упростив это уравнение, мы получим окончательный ответ: ${x^2}/25 + {y^2}/9 = 1$.

Пример: Найдите уравнение эллипса с вершинами в точках (-5;0) и (5;0), и фокусами в точках (-3;0) и (3;0).

Совет: Чтобы лучше понять уравнение эллипса, можно представить его как описание графика, который представляет собой овал, где расстояния от центра до точек на границе эллипса и фокусов подчиняются определенным правилам.

Практика: Найдите уравнение эллипса с вершинами в точках (-2;0) и (2;0), и фокусами в точках (-1;0) и (1;0).

Суть вопроса: Уравнение эллипса

Инструкция: Эллипс - это плоская геометрическая фигура, которая выглядит как овал. Уравнение эллипса имеет следующий вид:

(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1

где (h,k) - координаты центра эллипса, a - полуось эллипса по оси x, b - полуось эллипса по оси y.

Для данной задачи, у нас есть вершины эллипса (-5,0) и (5,0), а также фокусы (-3,0) и (3,0).

Вершины и фокусы эллипса находятся на оси x. Поэтому центр эллипса будет находиться посередине между этими точками, то есть в точке (0,0).

Расстояние между центром эллипса и фокусами называется фокусным расстоянием (c).

В данной задаче, фокусное расстояние равно:

c = 3 - (-3) = 6

Также известно, что полуоси эллипса (a и b) связаны с фокусным расстоянием следующей формулой:

c^2 = a^2 - b^2

Подставляя известные значения, получаем:

6^2 = a^2 - b^2

36 = a^2 - b^2

Мы также знаем, что точка вершины эллипса (5,0) находится на оси x и находится на расстоянии а от центра. Подставляя значения, имеем:

a = 5 - 0 = 5

Теперь, используя данную информацию, мы можем найти значение b:

36 = 5^2 - b^2

36 = 25 - b^2

b^2 = 25 - 36

b^2 = -11

Уравнение эллипса соответствует:

(x-0)^2/5^2 + (y-0)^2/(-11) = 1

Упрощая:

x^2/25 + y^2/(-11) = 1

Совет: Для лучшего понимания уравнений эллипсов, рекомендуется изучить базовые определения и формулы геометрии, такие как расстояние между точками, основные свойства эллипса и его уравнения.

Задание: Найдите уравнение эллипса с вершинами в точках (-3;0) и (-1;0), и фокусами в точках (-2;0) и (0;0).