Сколько учеников учится в классе, если 12 из них умеют читать, 8 умеют считать и 9 умеют писать? Из них 4 умеют

Тема: Задача на множества

Описание: Данная задача связана с множествами, где нам известны различные пересечения между группами учеников.

Давайте разберемся по шагам. Представим, что ученики, которые умеют читать, образуют множество A, ученики, которые умеют считать - множество B, и ученики, которые умеют писать - множество C.

1. По условию задачи, 12 учеников умеют читать, 8 умеют считать и 9 умеют писать. Подсчитаем количество учеников, которые не умеют ничего из этого. Общее количество учеников в классе можно обозначить как универсальное множество U. Пусть X - множество учеников, которые ничего не умеют. Тогда количество учеников, которые ничего не умеют, равно |X| = |U| - |A|.

2. Известно, что 4 ученика умеют и читать, и писать. Это означает, что они принадлежат и множеству A, и множеству C. Пусть Y - множество учеников, которые умеют и читать, и писать. Тогда количество таких учеников равно |Y| = 4.

3. Также, из условия задачи мы знаем, что 5 учеников умеют и читать, и считать. Пусть Z - множество учеников, которые умеют и читать, и считать. Тогда количество таких учеников равно |Z| = 5.

4. И наконец, мы знаем, что 3 ученика умеют и писать, и считать. Обозначим это множество как W. Тогда количество таких учеников равно |W| = 3.

Выражая все в виде уравнений, получаем:
|X| = |U| - |A|
|Y| = 4
|Z| = 5
|W| = 3

Теперь рассмотрим оставшиеся случаи, где ученики умеют две разные действия:

5. Из условия задачи нам известно, что 2 ученика умеют и читать, и писать, и считать. Обозначим это множество как V. Тогда количество таких учеников равно |V| = 2.

Теперь мы можем сформулировать уравнения для каждого множества:

|A ∩ C| = 4
|A ∩ B| = 5
|C ∩ B| = 3
|A ∩ B ∩ C| = |V| = 2

Используя формулу включения-исключения, мы можем найти количество учеников в классе:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |C ∩ B| + |A ∩ B ∩ C|

Подставляя известные значения, получаем:
|A ∪ B ∪ C| = 12 + 8 + 9 - 5 - 4 - 3 + 2 = 19

Итак, в классе всего 19 учеников.

Дополнительный материал: Студенты могут использовать этот подход для решения задач, связанных с пересечением и объединением множеств.

Совет: Для более легкого понимания и решения задач на множества, рекомендуется использовать диаграммы Венна. Данные диаграммы позволяют наглядно представить пересечения и объединения множеств.

Проверочное упражнение: В классе 30 учеников. 20 умеют играть на фортепиано, 15 умеют играть на гитаре, и 8 умеют играть и на фортепиано, и на гитаре. Сколько учеников не умеют играть ни на фортепиано, ни на гитаре?