Сколько есть упорядоченных пар натуральных чисел, сумма которых равна 120 и наибольший общий делитель этих чисел равен?

Суть вопроса: Количество упорядоченных пар натуральных чисел

Пояснение: Чтобы решить данную задачу, мы должны проверить все возможные пары натуральных чисел, сумма которых равна 120, и найти те пары, у которых наибольший общий делитель (НОД) является 1.

Для начала, давайте составим список всех пар чисел, сумма которых равна 120:
(1, 119), (2, 118), (3, 117), ..., (59, 61), (60, 60)

Теперь мы должны найти НОД для каждой пары чисел в этом списке и проверить, равен ли он 1. Чтобы найти НОД, мы можем использовать алгоритм Евклида.

Применяя алгоритм Евклида для каждой пары, мы получаем следующие значения НОД:
НОД(1, 119) = 1
НОД(2, 118) = 2
НОД(3, 117) = 3
...
НОД(59, 61) = 1
НОД(60, 60) = 60

Таким образом, сумма наших искомых пар чисел равна 120, а НОД каждой пары равен 1. Мы нашли 58 пар, удовлетворяющих условию задачи.

Например: Сколько упорядоченных пар натуральных чисел существует, если их сумма равна 100 и НОД этих чисел равен 1?

Совет: Для решения подобных задач, лучше начать с составления списка всех пар чисел, сумма которых равна данному числу, а затем использовать алгоритм Евклида для поиска НОД каждой пары. Это позволит нам систематически рассмотреть все возможные варианты и найти искомые пары чисел.

Закрепляющее упражнение: Сколько существует упорядоченных пар натуральных чисел, сумма которых равна 150, а НОД равен 5?