Показать, что отношение иметь один и тот же остаток при делении на 3 на множестве х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) является

Тема: Отношение эквивалентности и классы эквивалентности

Разъяснение: Отношение эквивалентности - это особый тип отношения между элементами множества, при котором они разбиваются на классы эквивалентности. Это отношение должно удовлетворять трем условиям: рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Для данной задачи, отношение "иметь один и тот же остаток при делении на 3" на множестве х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) будет отношением эквивалентности. Давайте проверим условия:

1. Рефлексивность: Каждый элемент сам себе эквивалентен, так как остаток при делении на 3 для любого числа равен остатку при делении самого числа на 3.
2. Симметричность: Если элементы a и b имеют один и тот же остаток при делении на 3, то и элементы b и a также будут иметь один и тот же остаток.
3. Транзитивность: Если элементы a и b имеют один и тот же остаток при делении на 3, и элементы b и c имеют один и тот же остаток, то элементы a и c также будут иметь один и тот же остаток.

Таким образом, отношение "иметь один и тот же остаток при делении на 3" является отношением эквивалентности.

Теперь посмотрим, на какие классы эквивалентности разбивается это множество:

[1,4,7,10] - класс эквивалентности для остатка 1 при делении на 3,
[2,5,8] - класс эквивалентности для остатка 2 при делении на 3,
[3,6,9] - класс эквивалентности для остатка 0 при делении на 3.

Таким образом, получается три класса эквивалентности.