Найдите интервалы вогнутости вверх (вниз) графика функции y=6x-cos3x

Тема: Вогнутость и выпуклость функций

Объяснение: Чтобы найти интервалы вогнутости вверх или вниз графика функции, мы должны проанализировать её вторую производную.

1. Найдем первую производную функции y=6x-cos3x:
y' = 6 - 3sin3x

2. Теперь найдем вторую производную функции, возьмем производную от первой производной:
y'' = -9cos3x

3. Изучим знаки второй производной y'':
- Если y'' > 0, то график функции вогнут вверх.
- Если y'' < 0, то график функции вогнут вниз.

Теперь найдем интервалы вогнутости вверх и вниз для функции y=6x-cos3x:

- Найдем точки, где вторая производная равна нулю:
-9cos3x = 0
cos3x = 0
3x = π/2 + πn, где n - целое число

- Разделим область определения функции y=6x-cos3x на интервалы, используя точки, где вторая производная равна нулю:
-9cos3x > 0: -π/6 + πn < x < π/6 + πn
-9cos3x < 0: π/6 + πn < x < 5π/6 + πn

Пример использования: Найдите интервалы вогнутости вверх и вниз для функции y=6x-cos3x.

Совет: Чтобы лучше понять вогнутость и выпуклость функций, нарисуйте график функции и обратите внимание на направление кривизны в разных областях.

Упражнение: Найдите интервалы вогнутости вверх и вниз для функции y=2x^2+sinx.