Описание: Для нахождения экстремумов функции f(x), нам нужно исследовать ее производную. Производная функции f(x) позволяет нам определить точки, в которых функция достигает своих экстремальных значений.
Шаг 1: Найдите производную функции f(x). Для функции f(x)=x^2-x, возьмем производную, используя правило степенной функции и правило вычитания: f"(x) = 2x - 1.
Шаг 2: Найдите точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем f"(x) к нулю и решим уравнение: 2x - 1 = 0. Решением этого уравнения является x = 1/2.
Шаг 3: Исследуйте знак производной f"(x) в окрестностях найденных точек.
- Для x < 1/2, значение производной будет меньше нуля, так как 2x - 1 < 0. Это означает, что функция f(x) убывает.
- Для x > 1/2, значение производной будет больше нуля, так как 2x - 1 > 0. Это означает, что функция f(x) возрастает.
Шаг 4: Итак, у нас есть следующая информация: функция f(x) убывает на интервале (-∞, 1/2) и возрастает на интервале (1/2, +∞).
Экстремумы функции f(x) могут быть только в точке x = 1/2.
Теперь рассмотрим значения функции в найденных точках:
- Для x < 1/2: f(x) = (x^2 - x) < f(1/2).
- Для x > 1/2: f(x) = (x^2 - x) > f(1/2).
Таким образом, найденная точка x = 1/2 является локальным минимумом функции f(x).
Дополнительный материал: Найдите экстремумы функции f(x)=x^2-x.
Совет: Чтобы лучше понять концепцию экстремумов функции, рекомендуется изучать график функции и ее производной. Графическое представление может помочь визуализировать изменения функции и понять, как происходит изменение ее наклона и поведение в окрестности экстремальных точек.
Задача на проверку: Найдите экстремумы функции f(x)=2x^3-6x^2-18x+5 и определите, являются ли они локальными минимумами или максимумами.
Все ответы даются под вымышленными псевдонимами! Здесь вы встретите мудрых наставников, скрывающихся за загадочными никами, чтобы фокус был на знаниях, а не на лицах. Давайте вместе раскроем тайны обучения и поищем ответы на ваши школьные загадки.
Описание: Для нахождения экстремумов функции f(x), нам нужно исследовать ее производную. Производная функции f(x) позволяет нам определить точки, в которых функция достигает своих экстремальных значений.
Шаг 1: Найдите производную функции f(x). Для функции f(x)=x^2-x, возьмем производную, используя правило степенной функции и правило вычитания: f"(x) = 2x - 1.
Шаг 2: Найдите точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем f"(x) к нулю и решим уравнение: 2x - 1 = 0. Решением этого уравнения является x = 1/2.
Шаг 3: Исследуйте знак производной f"(x) в окрестностях найденных точек.
- Для x < 1/2, значение производной будет меньше нуля, так как 2x - 1 < 0. Это означает, что функция f(x) убывает.
- Для x > 1/2, значение производной будет больше нуля, так как 2x - 1 > 0. Это означает, что функция f(x) возрастает.
Шаг 4: Итак, у нас есть следующая информация: функция f(x) убывает на интервале (-∞, 1/2) и возрастает на интервале (1/2, +∞).
Экстремумы функции f(x) могут быть только в точке x = 1/2.
Теперь рассмотрим значения функции в найденных точках:
- Для x < 1/2: f(x) = (x^2 - x) < f(1/2).
- Для x > 1/2: f(x) = (x^2 - x) > f(1/2).
Таким образом, найденная точка x = 1/2 является локальным минимумом функции f(x).
Дополнительный материал: Найдите экстремумы функции f(x)=x^2-x.
Совет: Чтобы лучше понять концепцию экстремумов функции, рекомендуется изучать график функции и ее производной. Графическое представление может помочь визуализировать изменения функции и понять, как происходит изменение ее наклона и поведение в окрестности экстремальных точек.
Задача на проверку: Найдите экстремумы функции f(x)=2x^3-6x^2-18x+5 и определите, являются ли они локальными минимумами или максимумами.