На клетчатой плоскости (где все клетки являются квадратами размером 1×1), нарисован прямоугольник, который был разрезан

Предмет вопроса: Окрашивание прямоугольников на клетчатой плоскости

Инструкция:
Докажем, что возможно окрасить некоторые из N прямоугольников нарисованного прямоугольника таким образом, чтобы окрашенная область являлась прямоугольником с площадью, кратной заданному числу.

Для начала, рассмотрим нарисованный прямоугольник и поделим его на клетки размером 1x1. Каждая клетка будет соответствовать одному прямоугольнику.

Заметим, что если мы окрасим все клетки прямоугольника в один цвет, то вся область будет образовывать прямоугольник площади, равной N (числу прямоугольников).

Теперь рассмотрим случай, когда N не является кратным заданному числу. Для этого нам необходимо выбрать подмножество прямоугольников и окрасить их таким образом, чтобы получить прямоугольник площади, кратной заданному числу.

Для этого мы можем выбрать прямоугольники, начиная с левого верхнего угла и двигаясь вправо и вниз, окрашивая каждый второй прямоугольник выбранным цветом. Таким образом, мы создадим вертикальные полосы с прямоугольниками, окрашенными в разные цвета.

При определенных условиях, мы можем поменять цвет некоторых прямоугольников внутри полосы, чтобы получить нужную площадь. Например, если нужно получить площадь, кратную 3, то мы можем поменять цвет прямоугольников внутри полосы, чтобы получить площадь, кратную 3.

Таким образом, мы можем окрасить некоторые прямоугольники таким образом, чтобы окрашенная область являлась прямоугольником с площадью, кратной заданному числу.

Например:
Задано значение N = 12. Докажите, что возможно окрасить некоторые из 12 прямоугольников таким образом, чтобы окрашенная область являлась прямоугольником с площадью, кратной 4.

Совет:
При решении подобных задач, полезно заметить, что если площадь области не является кратной заданному числу, то всегда можно создать окрашенную область с площадью, кратной этому числу путём выбора правильных прямоугольников и их окрашивания.

Проверочное упражнение:
Докажите, что возможно окрасить некоторые из 17 прямоугольников нарисованного прямоугольника таким образом, чтобы окрашенная область являлась прямоугольником с площадью, кратной 5.

Тема занятия: Доказательство окраски прямоугольников с площадью кратной заданному числу

Описание:
Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом Дирихле. Пусть общая площадь всех N прямоугольников равна S, и пусть нам нужно окрасить прямоугольники таким образом, чтобы окрашенная область имела площадь, кратную заданному числу K.

Возьмем остатки от деления каждой прямоугольной клетки на K (остаток будет от 0 до K-1). Таким образом, любой прямоугольник будет иметь остаток площади, который можно выразить как a * K + b, где a - количество прямоугольников с площадью, кратной K, b - остаток площади прямоугольника (0 <= b < K).

Так как у нас есть N прямоугольников, а всего K возможных остатков площади, то по принципу Дирихле как минимум два прямоугольника будут иметь одинаковый остаток площади. Это означает, что мы можем окрасить эти два прямоугольника таким образом, чтобы их суммарная площадь была кратна K.

Таким образом, мы показали, что возможно окрасить некоторые из N прямоугольников таким образом, чтобы окрашенная область имела площадь, кратную заданному числу K.

Например:
Пусть у нас есть прямоугольник размером 3x4, который был разрезан по линиям сетки, создавая 12 прямоугольников. Нам нужно доказать, что возможно окрасить некоторые из этих 12 прямоугольников таким образом, чтобы окрашенная область имела площадь, кратную 6.

Совет:
Чтобы лучше понять доказательство, рекомендуется прочитать или изучить принцип Дирихле, который является важным инструментом в комбинаторике и математике.

Проверочное упражнение:
На клетчатой плоскости нарисован прямоугольник размером 6x8, который был разрезан по линиям сетки, создавая 48 прямоугольников. Докажите, что возможно окрасить некоторые из этих 48 прямоугольников таким образом, чтобы окрашенная область имела площадь, кратную 12.