Какую работу совершает сила f=yi+yj при перемещении материальной точки вдоль кривой г y = x^2, где началом пути

Предмет вопроса: Вычисление работы силы при перемещении по кривой
Объяснение:
Для вычисления работы силы f при перемещении материальной точки вдоль кривой, необходимо воспользоваться формулой работы силы:

\[ A = \int_C F \cdot dr \]

где A - работа, F - сила, dr - вектор перемещения, а интеграл берется вдоль выбранной траектории C.

В данном случае, сила f = yi + yj, а кривая задана уравнением y = x^2.

У нас есть начальная точка a(-1; 1) и конечная точка в(0; 0).

Для нахождения работы, необходимо выразить вектор перемещения dr и подставить его в выражение для работы.

1. Найдем вектор перемещения dr:
dr = dl1 + dl2 + ... + dln

2. Запишем уравнение кривой в параметрической форме:
x = t
y = t^2

3. Используя параметрическое уравнение, найдем элементарные перемещения dl1 и dl2:
dl1 = dx = dt
dl2 = dy = 2t * dt

4. Заменим переменные, чтобы получить выражения для dl1 и dl2 через x:
dl1 = dx = dx/dt * dt = dx/dt * dx
dl2 = dy = dy/dt * dt = dy/dt * dx

5. Подставим dl1 и dl2 в вектор перемещения dr:
dr = dl1 + dl2
= (dx/dt * dx) + (dy/dt * dx)
= (1 * dx) + (2t * dx)
= (1 + 2t) * dx

6. Подставим вектор перемещения dr в выражение работы:
A = ∫ F · dr
= ∫ (yi + yj) · (1 + 2t) * dx
= ∫ (t^2i + t^2j) · (1 + 2t) * dx

7. Интегрируем выражение по x от -1 до 0, так как начальная точка a(-1; 1), а конечная точка в(0; 0):
A = ∫_{-1}^{0} [(t^2 * (1 + 2t)i) + (t^2 * (1 + 2t)j)] · dx

8. Выполняем интегрирование:
A = [∫_{-1}^{0} (t^2 * (1 + 2t) * dx)]i + [∫_{-1}^{0} (t^2 * (1 + 2t) * dx)]j

Для вычисления каждого из интегралов, заметим, что t^2 является четной функцией, а (1 + 2t) - нечетной. Поэтому, интеграл от нечетной функции в пределах симметрии (от -1 до 0) равен нулю.

A = 0 * i + 0 * j
A = 0

Таким образом, работа силы f при перемещении по кривой y = x^2 от точки а(-1; 1) до точки в(0; 0) равна 0.

Совет:
Для понимания данной задачи рекомендуется обратить внимание на то, что вектор перемещения dr выражается через дифференциал dx с использованием параметрического уравнения. Интегрирование производится по дифференциалу dx в заданных пределах. Важно учесть, что при интегрировании выражений, в которых есть четные и нечетные функции, интеграл от нечетной функции в пределах симметрии будет равен нулю.

Упражнение:
Найдите работу силы f = (2x + 3)y при перемещении материальной точки по кривой y = x^3 от точки а(1; 1) до точки b(2; 8).