Каковы условия, при которых достигаются экстремумы функции z = x + 2y при условии, что x^2 + y^2

Тема занятия: Задача на экстремумы функции

Пояснение: Для определения условий, при которых функция достигает экстремумов, мы должны использовать теорию производных. Данная задача связана с нахождением условий экстремума функции z = x + 2y при условии x^2 + y^2 = 1. Для начала воспользуемся методом множителей Лагранжа, чтобы учесть ограничение x^2 + y^2 = 1.

Как известно, чтобы найти экстремум функции с ограничением, мы должны рассмотреть функцию Лагранжа L = z - λ(x^2 + y^2 - 1), где λ - множитель Лагранжа.

Теперь найдем частные производные по x, y и λ и приравняем их к нулю:
∂L/∂x = 1 - 2λx = 0
∂L/∂y = 2 - 2λy = 0
∂L/∂λ = x^2 + y^2 - 1 = 0

Решим систему уравнений, три неизвестных x, y и λ:
1 - 2λx = 0
2 - 2λy = 0
x^2 + y^2 - 1 = 0

Найдя значения x и y из первых двух уравнений и подставив их в третье уравнение, мы получим условия, при которых функция достигает экстремумов.

Дополнительный материал: Найти условия, при которых функция z = x + 2y достигает экстремумов при условии x^2 + y^2 = 1.

Совет: При решении подобных задач важно четко указывать все шаги и объяснения, чтобы быть уверенным, что решение было понятно для школьника. Также полезно понимать, как использовать метод множителей Лагранжа для нахождения условий экстремума функции с ограничением.

Задание: Найти условия, при которых функция f(x, y) = 2x + 3y достигает экстремумов при условии x^2 + y^2 = 4.