Какова первообразная функции g(x)=x^2-sinx?

Предмет вопроса: Вычисление первообразной функции

Разъяснение: Для нахождения первообразной функции \(g(x) = x^2 - \sin(x)\), мы будем использовать метод интегрирования. Чтобы найти первообразную функцию, мы ищем функцию, производная которой равна исходной функции.

Рассмотрим пошаговое решение данной задачи:

1. Найдем первообразную \(F(x)\) для члена \(x^2\):
Используем формулу для нахождения первообразной степенной функции:
\(\int x^n dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C\), где \(C\) — постоянная интегрирования.
В данном случае, мы имеем \(n = 2\), поэтому,
\(\int x^2 dx = \frac{{x^{2+1}}}{{2+1}} + C = \frac{{x^3}}{3} + C_1\), где \(C_1\) — новая постоянная интегрирования.

2. Найдем первообразную для члена \(-\sin(x)\):
Используем известный факт, что
\(\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C_2\), где \(C_2\) — новая постоянная интегрирования.

3. Собираем общую первообразную функцию:
Так как у нас есть два члена, для каждого из них мы нашли первообразные функции:
первообразная для \(x^2\) равна \(\frac{{x^3}}{3} + C_1\),
а первообразная для \(-\sin(x)\) равна \(-\cos(x) + C_2\).
Поскольку мы складываем эти два члена, константы интегрирования сложатся:
\(F(x) = \frac{{x^3}}{3} - \cos(x) + C\), где \(C = C_1 + C_2\) — итоговая постоянная интегрирования.

Например:
Найдите первообразную функции \(g(x) = x^2 - \sin(x)\).

Совет: При решении задачи, будьте внимательны и аккуратны при применении соответствующих формул. Не забывайте учитывать постоянные интегрирования и проверять свои ответы, дифференцируя полученную первообразную функцию.

Закрепляющее упражнение: Найдите первообразную функции \(f(x) = e^x + \cos(x)\).