Какова длина параллелограмма, построенного на векторах u⃗ и v⃗ , и как она связана с длиной вектора

Тема вопроса: Длина параллелограмма, построенного на векторах

Описание:
Для нахождения длины параллелограмма, построенного на векторах u⃗ и v⃗, мы должны использовать понятие векторного произведения. Векторное произведение двух векторов представляет собой новый вектор, перпендикулярный начальным векторам и имеющий длину, равную площади параллелограмма, образованного этими векторами.

Длина параллелограмма может быть найдена с помощью формулы модуля векторного произведения. Для двух векторов u⃗ и v⃗, параллельно лежащих в плоскости, длина параллелограмма может быть вычислена следующим образом:
|u⃗ × v⃗ | = |u⃗ | × |v⃗ | × sin(θ),
где |u⃗ | и |v⃗ | - длины векторов u⃗ и v⃗ соответственно, а θ - угол между векторами u⃗ и v⃗.

Помимо этого, длина параллелограмма также может быть равна произведению основания параллелограмма (длины вектора u⃗) на его высоту, которую можно найти, используя формулу h = |v⃗ | × sin(θ), где θ - тот же угол между векторами u⃗ и v⃗.

Пример:
У нас есть вектор u⃗ = (2, 3) и вектор v⃗ = (4, -1). Чтобы найти длину параллелограмма, построенного на этих векторах, мы должны сначала найти векторное произведение: u⃗ × v⃗ = (2 × -1 - 3 × 4) = -14. Теперь мы можем вычислить длину параллелограмма, используя формулу: |u⃗ × v⃗ | = |-14| = 14.

Теперь мы можем найти высоту параллелограмма: h = |v⃗ | × sin(θ) = |(4, -1)| × sin(θ) = √(4^2 + (-1)^2) × |sin(θ)| = √(16 + 1) × |sin(θ)|.

Совет:
Для лучшего понимания этой темы рекомендуется ознакомиться с основами векторной алгебры и тригонометрии. Также полезно запомнить формулы для нахождения длины вектора и для вычисления синуса угла между векторами.

Закрепляющее упражнение:
У вас есть вектор u⃗ = (3, -2) и вектор v⃗ = (5, 7). Найдите длину параллелограмма, построенного на этих векторах.