Какова длина AC, если известно, что угол AOC равен 120°, а точка O делит одну из высот треугольника в соотношении

Тема: Длина отрезка AC в треугольнике

Пояснение:
Для решения данной задачи, воспользуемся теоремой синусов. Согласно данному условию, известно, что угол AOC равен 120°, а точка O делит одну из высот треугольника в соотношении 2:1 от вершины.

Для начала, давайте обозначим длины сторон треугольника. Пусть AB = a, BC = b и AC = c.

Из условия задачи, у нас также есть уравнение AB + 3BC = 18. Мы знаем, что точка O делит одну из высот треугольника в соотношении 2:1 от вершины, поэтому мы имеем AO = 2/3 * AH и CO = 1/3 * CH, где H - это точка пересечения высот треугольника.

Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти длину стороны AC. Теорема синусов утверждает, что для любого треугольника с углом A и сторонами a, b и c, выполняется следующее соотношение: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C).

В нашем случае, мы можем записать это соотношение для треугольника AOC:

AC/sin(120°) = AO/sin(C) или AC/sin(120°) = CO/sin(A).

Теперь заметим, что sin(120°) = sin(60°), поскольку sin(x) = sin(180° - x). Таким образом, мы можем переписать уравнение: AC/sin(60°) = CO/sin(A).

Далее, заменим значения CO и AC в уравнении:

AC/sin(60°) = (1/3 * CH) / sin(A).

Так как CH - высота треугольника, то sin(A) = CH / AC, поскольку sin(A) = противолежащий катет / гипотенуза прямоугольного треугольника.

Подставим это значение обратно в уравнение:

AC/sin(60°) = (1/3 * CH) / (CH / AC).

Упрощая это уравнение, получаем:

AC/sin(60°) = 1/3.

Умножим обе стороны уравнения на sin(60°):

AC = (1/3) * sin(60°).

Подставим значение sin(60°) = √3 / 2:

AC = (1/3) * (√3 / 2).

Упрощаем выражение:

AC = √3 / 6.

Таким образом, длина отрезка AC равна √3 / 6.

Например:
Условие задачи: Какова длина AC, если угол AOC равен 120°, а точка O делит одну из высот треугольника в соотношении 2:1 от вершины и AB + 3BC = 18?

Решение:
Мы применили теорему синусов и получили, что длина отрезка AC равна √3 / 6.

Совет:
Чтобы лучше понять использование теоремы синусов, рекомендуется изучить применение этой теоремы в различных типах треугольников (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный). Также, обратите внимание на правильное определение углов и сторон треугольника.

Закрепляющее упражнение:
Найдите длину отрезка AC, если угол AOC равен 45°, а точка O делит одну из высот треугольника в соотношении 3:2 от вершины и AB + 2BC = 20.