Каков модуль радиального ускорения материальной точки в момент времени t = 0,5 c, если движение точки в плоскости

Тема урока: Модуль радиального ускорения материальной точки

Пояснение:
Радиальное ускорение материальной точки представляет собой компоненту ускорения, направленную по вектору радиуса и определяющую изменение скорости точки при движении по окружности или в полярных координатах.

Для нахождения модуля радиального ускорения материальной точки в момент времени t = 0,5 сначала найдем радиус-вектор точки r(t) в полярных координатах.

Имея полярные координаты p(t) и ϕ(t), вычислим значение радиус-вектора r(t):

r(t) = p(t) * (cosϕ(t)i + sinϕ(t)j)

Подставим значения p(t) = 4cos(πt) и ϕ(t) = πt:

r(t) = 4cos(πt) * cos(πt)i + 4cos(πt) * sin(πt)j

Для определения радиального ускорения воспользуемся формулой:

a_r = (d^2r)/(dt^2) - (r * (dθ/dt)^2)

где dr/dt - скорость точки, d^2r/dt^2 - ускорение точки, dθ/dt - угловая скорость.

Находим вторую производную радиус-вектора:

d^2r/dt^2 = -4π^2 * cos(πt)i - 4π^2 * sin(πt)j

Найдем угловую скорость:

dθ/dt = dϕ/dt = π

Подставляем все значения в формулу радиального ускорения:

a_r = (-4π^2 * cos(πt)i - 4π^2 * sin(πt)j) - (4cos(πt) * π^2)i - (4cos(πt) * π^2)j

Упрощаем выражение:

a_r = (-8π^2cos(πt)i - 8π^2sin(πt)j)

Теперь можем найти модуль радиального ускорения:

|a_r| = sqrt((-8π^2cos(πt))^2 + (-8π^2sin(πt))^2)

|a_r| = sqrt((64π^4cos^2(πt) + 64π^4sin^2(πt))

|a_r| = sqrt(64π^4(cos^2(πt) + sin^2(πt))

Учитывая тождество тригонометрии cos^2(πt) + sin^2(πt) = 1, получим:

|a_r| = sqrt(64π^4) = 8π^2

Таким образом, модуль радиального ускорения материальной точки в момент времени t = 0,5 с равен 8π^2.

Совет:
Для более лучшего понимания данной темы рекомендуется изучить теорию полярных координат, векторное дифференцирование и основные свойства радиального ускорения. Важно также понимать, что модуль радиального ускорения зависит от радиус-вектора и его производных по времени.

Закрепляющее упражнение:
Используя формулу для радиального ускорения, найдите модуль радиального ускорения материальной точки в момент времени t = 1 с, если движение точки в полярных координатах задано следующим образом: p(t) = 3sin(2πt) и ϕ(t) = 2πt.