Какое максимальное количество кругов (включая исходный), может достичь кузнечик, сделав четное количество ходов?

Название: Кузнечик на плоскости

Инструкция:

Когда кузнечик делает свой ход, он может сдвигаться на произвольное расстояние по горизонтали и вертикали. Предположим, что исходная позиция кузнечика — точка (0, 0) на плоскости. Чтобы узнать, насколько далеко мы можем дойти после определенного количества ходов, мы можем рассмотреть сумму координат в каждом направлении.

Итак, пусть у нас будет N ходов. После каждого хода, сумма координат кузнечика меняется только на 2: 1 жетон для горизонтального движения и 1 жетон для вертикального движения. Таким образом, сумма координат x и y будет иметь значение 2N.

Частный случай: если четное число N делится на 4, то сумма координат x и y будет равна 0, поскольку каждая координата изменится ровно на N/2 вверх и N/2 вниз при выполнении N ходов. Это означает, что кузнечик вернется в исходную точку (0, 0) после выполнения N ходов.

Однако, если четное число N не делится на 4, то сумма координат x и y будет равна 2. Опять же, это происходит из-за того, что каждая координата изменится ровно на N/2 вверх и N/2 вниз при выполнении N ходов, оставляя сумму координат равной 2.

Таким образом, чтобы ответить на вопрос, максимальное количество кругов (включая исходный), которое может достичь кузнечик, сделав четное количество ходов, будет равно 2.

Демонстрация: Кузнечик может достичь максимум 2 кругов, сделав четное количество ходов.

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить эту идею, вы можете представить кузнечика на плоскости и следить за его координатами после каждого хода. Это поможет вам наглядно увидеть, как меняются координаты кузнечика.

Дополнительное задание: Если кузнечик делает 10 ходов, сколько кругов (включая исходный) он сможет достичь?