Каковы стороны основания прямого параллелепипеда, если угол между ними составляет 45 градусов и меньшая диагональ

Тема: Стороны основания и объем параллелепипеда

Инструкция:
Прямой параллелепипед имеет два прямоугольных основания, которые параллельны друг другу. Угол между основаниями составляет 45 градусов. Меньшая диагональ параллелепипеда, то есть диагональ основания, равна 9.

Чтобы найти стороны основания параллелепипеда, можно использовать теорему Пифагора. Допустим, a и b - стороны основания, а c - диагональ основания. Меньшая диагональ - это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Тогда справедливо:

$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Зная, что c равно 9 и угол между основаниями составляет 45 градусов, мы можем написать систему уравнений:

$$ c = 9 $$
$$ a \cdot b \cdot \sin(45^\circ) = S_{base} $$
$$ a \cdot b \cdot \cos(45^\circ) = S_{lateral} $$
$$ a \cdot b \cdot h = V $$

где $ S_{base} $ - площадь основания, $ S_{lateral} $ - площадь боковой поверхности,
$ h $ - высота параллелепипеда, $ V $ - его объем.

Решив систему уравнений, можно найти стороны основания, площади и объем параллелепипеда.

Пример:
Зная, что меньшая диагональ параллелепипеда равна 9, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения сторон основания:

$$ a^2 + b^2 = 9^2 = 81 $$
$$ a = \sqrt{81 - b^2} $$

Для нахождения площадей и объема параллелепипеда, примем, например, a = 3 и b = 6:

$$ S_{base} = 3 \cdot 6 \cdot \sin(45^\circ) = 9\cdot\sqrt{2} $$
$$ S_{lateral} = 3 \cdot 6 \cdot \cos(45^\circ) = 9\cdot\sqrt{2} $$
$$ V = 3 \cdot 6 \cdot h $$

Совет:
Для понимания данной темы полезно освежить в памяти теорему Пифагора и формулы для площади прямоугольника и объема параллелепипеда.

Дополнительное упражнение:
Найдите стороны основания, площадь боковой поверхности, полную поверхность и объем параллелепипеда, если угол между основаниями составляет 60 градусов, а меньшая диагональ равна 12.