Найдите значения коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку (прямая касается окружности

Тема урока: Прямая и окружность

Пояснение: Чтобы найти значения коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку и прямая касается окружности, нам потребуется решить систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения окружности.

Уравнение прямой в общем виде выглядит следующим образом: y = mx + c, где m - коэффициент наклона прямой, а c - свободный член.

Уравнение окружности имеет следующий вид: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Для того чтобы прямая касалась окружности в одной точке, расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно радиусу окружности. Это означает, что нужно найти такие значения коэффициента c, при которых расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу.

Доп. материал: Пусть уравнение окружности имеет вид (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5. Найдите значения коэффициента c, при которых прямая y = 2x + c касается данной окружности.

Совет: Для решения этой задачи, можно воспользоваться формулой расстояния от точки до прямой, которая имеет вид d = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2).

Ещё задача: Найдите значения коэффициента c, при которых прямая y = -3x + c касается окружности с центром в точке (4, -2) и радиусом 3.

Тема занятия: Уравнение касательной прямой для окружности

Пояснение:
Чтобы найти значение коэффициента c, при котором прямая и окружность имеют одну общую точку и прямая касается окружности, необходимо использовать уравнение касательной прямой для окружности.

Уравнение касательной прямой для окружности имеет вид:
y - y₁ = k(x - x₁),
где (x₁, y₁) - координаты центра окружности, а k - значение углового коэффициента прямой.

Для того чтобы прямая касалась окружности, необходимо, чтобы уравнение касательной прямой имело лишь одно решение. Это будет иметь место, когда дискриминант уравнения касательной прямой равен нулю:
D = 0.

Для окружности с центром в точке (x₁, y₁) и радиусом r, уравнение дискриминанта будет выглядеть следующим образом:
D = (k(x₁) - y₁)² - (k² + 1)((x₁)² + (y₁)² - r²).

Решая уравнение D = 0 относительно k, можно найти значения коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку и прямая касается окружности.

Доп. материал:
Задана окружность с центром в точке (2, 3) и радиусом 4. Найдите значения коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку и прямая касается окружности.

Совет:
Для лучшего понимания задачи рекомендуется ознакомиться с уравнением касательной прямой для окружности и визуализировать задачу, нарисовав окружность и прямую на координатной плоскости.

Практика:
Задана окружность с центром в точке (-1, 2) и радиусом 3. Найдите значения коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку и прямая касается окружности.