Какое комплексное число соответствует вектору, полученному после сжатия 1z в 3,5 раза и поворота на угол

Тема вопроса: Комплексные числа и векторы

Пояснение: Комплексные числа и векторы тесно связаны между собой. Комплексное число представляет собой комбинацию вещественной и мнимой частей, записываемую в виде a + bi, где a - вещественная часть, b - мнимая часть, а i - мнимая единица. Вектор может быть представлен в виде комплексного числа, где вещественная часть соответствует горизонтальной составляющей, а мнимая часть - вертикальной.

Для выполнения данной задачи сначала нужно сжать комплексное число 1z в 3,5 раза. Для этого умножим его на 3,5. То есть новое число будет равно 3,5z. Затем нам нужно повернуть его на угол. Мы можем использовать формулу для поворота комплексного числа: r * (cos(θ) + i * sin(θ)), где r - модуль числа, a θ - угол поворота.

Пусть наш вектор, полученный после сжатия 1z в 3,5 раза, имеет модуль r и угол поворота θ. Тогда новое комплексное число будет представлено как: 3,5z = r * (cos(θ) + i * sin(θ)).

Демонстрация:
Дано комплексное число z = 2 + 3i.
Для сжатия вектора z в 3,5 раза и поворота на угол θ, новое комплексное число будет:
3,5 * (2 + 3i) = 7 + 10,5i.
Пусть угол поворота θ = π/4, то есть 45 градусов.
Тогда 3,5z = (7 + 10,5i) * (cos(π/4) + i * sin(π/4))
= (7 + 10,5i) * (√2/2 + i * √2/2)
= (7 * √2/2 - 10,5 * √2/2) + (7 * √2/2 + 10,5 * √2/2)i
= (7√2 - 10,5√2)/2 + (7√2 + 10,5√2)i/2
= (7√2 - 10,5√2 + (7√2 + 10,5√2)i)/2
= (7√2/2) + (10,5√2/2)i.

Советы:
- Для сжатия комплексного числа используйте умножение его на масштабный коэффициент.
- Для поворота комплексного числа используйте формулу r * (cos(θ) + i * sin(θ)).
- Угол поворота может быть задан в радианах или градусах. Убедитесь, что используете правильную формулу в зависимости от того, какой формат угла задан в задаче.

Упражнение:
Дано комплексное число z = 3 + 4i.
Выполните сжатие вектора z в 2 раза и поворот на угол π/6. Найдите новое комплексное число.