Как найти решение данного уравнения с логарифмами: 1/lgx - 6 + 5/lgx+2=1?

Предмет вопроса: Решение уравнений с логарифмами

Пояснение: Для решения данного уравнения с логарифмами необходимо следовать нескольким шагам. Давайте разберемся по порядку:

1. Сначала приведем уравнение к виду, в котором все логарифмы имеют одну и ту же основу. В данном случае выберем основу 10, так как она наиболее распространена. Для этого воспользуемся свойствами логарифмов: lg(x) = log10(x) и lg(x+2) = log10(x+2).

Теперь уравнение примет вид: 1/log10(x) - 6 + 5/log10(x+2) = 1.

2. Умножим обе части уравнения на log10(x) и log10(x+2), чтобы избавиться от знаменателей:

log10(x) * (1/log10(x) - 6 + 5/log10(x+2)) = log10(x) * 1.

Получим: 1 - 6log10(x) + 5log10(x+2) = log10(x).

3. Перенесем все слагаемые с логарифмами на одну сторону уравнения:

-6log10(x) + 5log10(x+2) - log10(x) = -1.

4. Сложим логарифмы и упростим выражение:

log10(x+2)^5 / x^6 = 1.

5. Используем свойство логарифмов: a^b = c равносильно loga(c) = b. Преобразуем уравнение:

log10((x+2)^5 / x^6) = 1.

6. По свойству логарифма, мы можем написать:

(x+2)^5 / x^6 = 10^1

(x+2)^5 / x^6 = 10.

7. Возводим обе части уравнения в шестую степень:

[(x+2)^5 / x^6]^6 = 10^6.

(x+2)^30 / x^36 = 1 000 000.

8. Перемножим обе части уравнения на x^36:

(x+2)^30 = 1 000 000x^36.

9. Возведем обе части уравнения в 1/30 степень:

[(x+2)^30]^(1/30) = (1 000 000x^36)^(1/30).

x+2 = (1 000 000x^36)^(1/30).

10. Возведем обе части уравнения в 30-ю степень:

(x+2)^30 = [(1 000 000x^36)^(1/30)]^30.

(x+2)^30 = 1 000 000x^36.

11. Приведем уравнение к квадратному виду:

(x+2)^30 - 1 000 000x^36 = 0.

12. Найдем числовое решение уравнения с помощью численных методов, таких как метод итераций или метод Ньютона-Рафсона.

Пример: Решите уравнение 1/lgx - 6 + 5/lgx+2=1.

Совет: При решении уравнений с логарифмами важно быть внимательными с выбором основы логарифма и правильным преобразованием уравнения для избавления от логарифмов.

Задание для закрепления: Решите уравнение 1/lgy - 4 + 3/lgy+3 = 2.

Тема: Решение уравнений с логарифмами

Пояснение: Для того чтобы найти решение уравнения с логарифмами, мы должны следовать определенным шагам.

Шаг 1: Приведите все логарифмы к общему основанию. В данном случае у нас есть два логарифма с базисами 10 и 2. Мы можем привести их к общему основанию 10, используя свойства логарифмов.

Шаг 2: Поменяйте местами левую и правую части уравнения.

Шаг 3: Разрешите уравнение относительно логарифма. Это может потребовать применения свойств логарифмов и алгебры.

Шаг 4: Проверьте полученное решение подставив его обратно в исходное уравнение. Если оно удовлетворяет уравнению, то это верный ответ. Если нет, необходимо перепроверить шаги выше или осуществить дополнительные проверки.

Доп. материал:
У нас дано уравнение: 1/lgx - 6 + 5/lg(x+2) = 1

Шаг 1: Приведем к общему основанию 10: 1/log₅(x) - 6 + (5/log₅(x+2)) = 1

Шаг 2: Поменяем местами левую и правую части: 1 = 6 - (1/log₅(x)) + (5/log₅(x+2))

Шаг 3: Разрешим уравнение относительно логарифма: (1/log₅(x)) + (5/log₅(x+2)) = 6 - 1

Шаг 4: Получаем уравнение log₅(x) = 1/6, log₅(x+2) = 1/6

Совет: При решении уравнений с логарифмами полезно использовать свойства логарифмов и быть внимательными при каждом шаге.

Дополнительное упражнение: Решите уравнение: log₂(x) + log₂(x + 2) = log₂(12)