Как найти корни тригонометрического уравнения 5tg^2x=3−14tgx? Какие значения будут корнями данного уравнения

Тригонометрическое уравнение представляет собой уравнение, содержащее тригонометрические функции. Для нахождения корней данного уравнения 5tg^2x=3−14tgx, мы сначала сводим его к квадратному уравнению относительно одной из тригонометрических функций.

Шаг 1: Введем новую переменную u = tgx. Тогда уравнение примет вид:
5u^2 = 3 − 14u.

Шаг 2: Перепишем уравнение в квадратном виде:
5u^2 + 14u - 3 = 0.

Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение. Для этого мы можем использовать факторизацию, полное квадратное уравнение или квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - коэффициенты.

5u^2 + 14u - 3 = 0.

Для нахождения корней обратимся к формуле дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

В данном случае a = 5, b = 14 и c = -3.

D = (14)^2 - 4(5)(-3) = 196 + 60 = 256.

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения, используя формулу корней:

u1,2 = (-b ± √D) / (2a).

u1,2 = (-14 ± √256) / (2*5).

u1 = (-14 + 16) / 10 = 2/10 = 0.2.

u2 = (-14 - 16) / 10 = -30/10 = -3.

Шаг 5: Найдем значения переменной x, используя нашу введенную переменную:

u = tgx.

a) u = tgx = 0.2 → x = arctg(0.2) + πn.

б) x = arctg(3) + πn.

в) x = arctg(0.2) + 2πn.

г) x = arctg(0.2) + πn.

Таким образом, значениями корней данного тригонометрического уравнения будут:
А) −arctg3+πn
Б) x=π−arctg3+πn
В) x=arctg0,2+2πn
Г) x=arctg0,2+πn

Совет: Для решения тригонометрических уравнений полезно знать тригонометрические значения основных углов и основные свойства тригонометрических функций. Регулярная практика решения различных типов уравнений также поможет вам лучше понять и запомнить процесс решения.

Ещё задача: Решите уравнение sin(x) = 1 в интервале от 0 до 2π.