Как доказать, что в произвольной раскраске шахматной доски всегда найдется прямоугольник, состоящий из клеток одного

Тема урока: Доказательство существования прямоугольника с клетками одного цвета в его вершинах

Пояснение: Чтобы доказать, что в произвольной раскраске шахматной доски всегда найдется прямоугольник, состоящий из клеток одного цвета в его вершинах, но с разным цветом на четырех сторонах, мы можем использовать принцип Дирихле для двумерной таблицы.

Предположим, что у нас есть шахматная доска размером 8x8, и каждая клетка раскрашена либо в черный, либо в белый цвет. Всего у нас 2^64 возможных раскрасок доски.

Разобьем доску на 9 квадратов размером 2x2 (8 квадратов в углах и 1 квадрат в центре). По принципу Дирихле, в каждом из этих квадратов будет как минимум две клетки одного цвета. Теперь посмотрим на цвета 5 угловых клеток. По описанному выше, хотя бы 3 из 5 клеток будут одного цвета (черного или белого).

Возьмем две клетки одного цвета среди этих 3х. Если мы дополнительно возьмем клетки в углах доски, образующие с этими двумя клетками прямоугольник, то получим прямоугольник, состоящий из клеток одного цвета в его вершинах, но с разным цветом на четырех сторонах.

Принцип этого доказательства применим и для досок любого размера, и поэтому мы можем сделать вывод, что в любой произвольной раскраске шахматной доски всегда найдется такой прямоугольник.

Пример: Докажите, что в данной раскраске шахматной доски всегда найдется прямоугольник, состоящий из клеток одного цвета в его вершинах, но с разным цветом на четырех сторонах.

Совет: Для лучшего понимания доказательства, можно попробовать нарисовать несколько примеров произвольных раскрасок шахматной доски маленького размера и проверить, какие прямоугольники соответствуют условиям.

Задание для закрепления: Имеется шахматная доска размером 5x5, все клетки которой окрашены в один из двух цветов - черный или белый. Докажите, что в этой раскраске всегда найдется прямоугольник, состоящий из клеток одного цвета в его вершинах, но с разным цветом на четырех сторонах.