Как доказать, что уравнение х2 + 4х + 4у2 – 16y – 4 = 0 описывает эллипс? Что является полуосями этого эллипса? Каковы

Тема урока: Уравнение эллипса

Инструкция:
Чтобы доказать, что уравнение х2 + 4х + 4у2 – 16у – 4 = 0 описывает эллипс, можно использовать следующие шаги.
1. Приведем уравнение к каноническому виду. Для этого сначала скомплектуем квадраты в уравнении, получим (х + 2)2 + 4(у - 2)2 - 16 = 0.
2. Заметим, что уравнение полного квадрата имеет вид (х - х0)2/a2 + (у - у0)2/b2 = 1, где (х0, у0) - координаты центра эллипса, а а и b - полуоси.
3. Сравним каноническую форму уравнения с исходным уравнением и сделаем выводы:
а) Центр эллипса: (-2, 2).
б) Полуоси: a = b = √(16) = 4 (или a = b = -√(16) = -4).
в) Фокусы: координаты фокусов можно найти, используя формулы фокусов: (х - х0) = ± c, где c = √(a^2 - b^2). В нашем случае a = b = 4, поэтому c = 0. Фокусы будут совпадать с центром эллипса: F1(-2, 2) и F2(-2, 2).
г) Эксцентриситет: эксцентриситет - это величина, равная отношению расстояния от фокуса до любой точки эллипса к расстоянию от той же точки до директрисы. В нашем случае эксцентриситет равен 0, так как фокусы совпадают с центром эллипса.
д) Уравнения директрис: уравнения директрис можно найти из соотношения b^2 = a^2 - c^2. В нашем случае мы знаем, что c = 0, поэтому уравнения директрис будут иметь вид y = (у0 ± b).

Доп. материал:
Дано уравнение эллипса: х2 + 4х + 4у2 – 16у – 4 = 0. Найдите координаты фокусов и уравнения директрис.
Решение:
Приводим уравнение к каноническому виду: (х + 2)2 + 4(у - 2)2 - 16 = 0.
Из сравнения с канонической формой получаем:
Центр эллипса: (-2, 2)
Полуоси: a = b = 4
Фокусы: F1(-2, 2) и F2(-2, 2)
Уравнения директрис: y = 2 ± 4.

Совет:
Чтобы лучше понять уравнение эллипса, можно представить его геометрическую интерпретацию и нарисовать эллипс на графике. Это поможет визуализировать форму и свойства эллипса.

Задача для проверки: Пусть дано уравнение эллипса: 4x^2 + 16y^2 - 64 = 0. Определите координаты его фокусов, полуоси, и уравнения директрис.