Докажите, что выражение √2013*2015*2017*2019+16 является целым числом

Тема: Доказательство целочисленности выражения

Инструкция: Чтобы доказать, что данное выражение является целым числом, мы должны показать, что оно делится нацело на какое-то число, а именно, на 2014.

Мы заметим, что каждое из чисел 2013, 2015, 2017 и 2019 может быть записано в виде двух чисел, отличающихся на 1:

2013 = 2014 - 1
2015 = 2014 + 1
2017 = 2014 + 3
2019 = 2014 + 5

Теперь мы можем раскрыть скобки в выражении:
√ (2013*2015*2017*2019 + 16) = √((2014 - 1)(2014 + 1)(2014 + 3)(2014 + 5) + 16)
= √((2014^2 - 1)(2014^2 - 4) + 16)
= √((2014^2 - 1)(2014^2 - 4 + 16))
= √((2014^2 - 1)(2014^2 + 12))

Заметим, что (2014^2 - 1) делится на 2014:

(2014^2 - 1) = 2014 * (2014 - 1)

Теперь мы можем подставить этот результат обратно в выражение:
√((2014^2 - 1)(2014^2 + 12)) = √(2014 * (2014 - 1) * (2014^2 + 12))

Мы видим, что полученное выражение является произведением трех целых чисел: 2014, (2014 - 1) и (2014^2 + 12). Так как исходное выражение можно представить в виде квадратного корня из произведения целых чисел, оно является целым числом.

Дополнительный материал: Воспользуемся доказанным выше фактом. Докажите, что выражение √(2019*2021*2023*2025 + 16) является целым числом.

Совет: Для доказательства целочисленности выражения, попробуйте использовать множители чисел и основные свойства арифметики, такие как раскрытие скобок или факторизация.

Дополнительное упражнение: Докажите, что выражение √(2011*2013*2015*2017 + 16) является целым числом.