Докажите, что cos2a = 1 - tg^2a/1 + tg^2a при условии, что а ≠ pi/2

Предмет вопроса: Доказательство тождества cos2a = 1 - tg^2a/1 + tg^2a (а ≠ pi/2)

Пояснение:
Для начала, определим тригонометрические функции:

cos2a - косинус удвоенного угла а,
tan^2a - квадрат тангенса угла а.

Воспользуемся формулами тригонометрии:

cos2a = cos^2a - sin^2a,
tg^2a = sin^2a / cos^2a.

Теперь рассмотрим выражение 1 - tg^2a / (1 + tg^2a):

1 - tg^2a / (1 + tg^2a) = ((1 + tg^2a) - tg^2a) / (1 + tg^2a) = 1 / (1 + tg^2a).

Заметим, что 1 / (1 + tg^2a) = cos^2a / (1 + sin^2a / cos^2a) = cos^2a.

Таким образом, мы получили:

cos2a = 1 - tg^2a / (1 + tg^2a).

Однако данное тождество справедливо только при условии, что а ≠ pi/2, так как в этом случае tg^2a не определено и выражение становится несостоятельным.

Пример:
Докажите, что cos2(π/4) = 1 - tg^2(π/4) / (1 + tg^2(π/4)).

Совет:
Чтобы более глубоко понять это тождество, полезно освежить знания по формулам тригонометрии и использовать их в решении примеров и задач.

Дополнительное упражнение:
Докажите, что cos2(π/3) = 1 - tg^2(π/3) / (1 + tg^2(π/3)), где а ≠ π/2.