Для каких значений а уравнение 2^x-a=sqrt(4^x-3a) имеет единственный корень?

Тема занятия: Решение уравнения с единственным корнем

Пояснение: Для того чтобы найти значения \(а\), при которых уравнение \(2^x - a = \sqrt{4^x - 3a}\) имеет единственный корень, нам нужно анализировать поведение обеих сторон уравнения и выяснить, когда они пересекаются только в одной точке.

Давайте начнем сравнивать показатели степени \(x\) в обеих частях уравнения. Правая сторона имеет \(4^x\), что означает, что левая сторона должна иметь \(x = 2\) в качестве решения. Поэтому, чтобы иметь единственный корень, должно выполняться условие \(a = 2^2 = 4\).

Теперь мы можем проверить это решение, подставив \(а = 4\) обратно в исходное уравнение. Получится:

\[2^x - 4 = \sqrt{4^x - 3(4)}\]

Мы знаем, что \(x = 2\) является решением этого уравнения. Когда мы применяем это значение, обе стороны уравнения равны 0. Таким образом, уравнение имеет единственный корень, когда \(a = 4\).

Пример: Найдите значения а, при которых уравнение \(2^x - а = \sqrt{4^x - 3а}\) имеет единственный корень.

Совет: При решении таких уравнений полезно анализировать степени и выражения, которые встречаются в уравнении. Используйте свойства степеней и корней, чтобы проверить возможные значения переменных.

Упражнение: Найдите значения а, при которых уравнение \(3^x - а = \sqrt{9^x - 2а}\) имеет единственный корень.