a) Предположим, что с вероятностью 80% каждое зерно на складе прорастет. Какова вероятность того, что среди 100 зерен
a) Предположим, что с вероятностью 80% каждое зерно на складе прорастет. Какова вероятность того, что среди 100 зерен число проросших будет составлять от 68 до 90 штук?
б) Среди зерен на складе 80% имеют способность прорастать. Какова вероятность того, что доля проросших зерен среди 100 зерен не будет отличаться от 80% более чем на определенную абсолютную величину?
24.11.2024 05:15
Разъяснение:
a) Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение и формулу Бернулли. Вероятность того, что каждое зерно прорастет, составляет 80%, то есть вероятность успеха (прорастания) равна 0.8, а вероятность неудачи (не прорастания) – 0.2. Мы хотим найти вероятность того, что число проросших зерен будет от 68 до 90.
Для этого мы должны составить сумму вероятностей всех значений от 68 до 90 (включая эти значения). Мы можем использовать формулу Бернулли для нахождения вероятности X успехов из N испытаний:
P(X=k) = C(N,k) * p^k * (1-p)^(N-k),
где C(N,k) обозначает количество сочетаний из N по k.
В данной задаче нужно найти вероятность суммы вероятностей для k от 68 до 90:
P(68<=X<=90) = P(X=68) + P(X=69) + ... + P(X=90).
b) Для решения этой задачи нужно использовать нормальное распределение и формулу для вычисления вероятностей в нормальном распределении. Поскольку у нас есть большое количество зерен (100), мы можем использовать нормальное приближение для биномиального распределения.
Формула для вычисления вероятности в нормальном распределении:
P(X=k) = (1 / (sqrt(2*pi*N*p*(1-p)))) * exp(-((k-N*p)^2) / (2*N*p*(1-p))),
где N – количество испытаний (в нашем случае 100), p – вероятность успеха (в нашем случае 0.8), k – количество успехов.
Мы должны найти вероятность того, что доля проросших зерен не отличается от 80% более чем на определенную абсолютную величину. Используем формулу для интервальной оценки доли:
P(|X/N - p| <= d) >= 1 - α,
где d – абсолютное отклонение, α – уровень значимости.
Дополнительный материал:
a) Найти вероятность того, что среди 100 зерен число проросших будет составлять от 68 до 90 штук.
Совет: Для лучшего понимания задачи насчет биномиального распределения и формулы Бернулли рекомендуется прочитать соответствующие разделы учебника по теории вероятностей или найти дополнительные материалы для изучения данных концепций.
Задание для закрепления:
b) Найти вероятность того, что доля проросших зерен среди 100 зерен не будет отличаться от 80% более чем на 5%.