А.) Найдите решение уравнения: [tex]5^{2sin2x}=(1/25)^{cos( frac{3pi}{2} + x)[/tex]. б.) Определите все значения

Тема урока: Решение тригонометрического уравнения со смешанными степенями

Описание: Для начала рассмотрим уравнение: [tex]5^{2\sin(2x)}=\left(\frac{1}{25}\right)^{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}[/tex].

В уравнении присутствуют смешанные степени, поэтому нам придется применить некоторые свойства степеней и тригонометрии, чтобы решить его.

1) Для начала возьмем логарифм от обеих частей уравнения, чтобы избавиться от степеней. Используя свойство логарифма, получим:

[tex]2\sin(2x)\log_5(5) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)\log_{\frac{1}{25}}\left(\frac{1}{25}\right)[/tex].

2) Воспользуемся свойствами логарифмов, упростим уравнение:

[tex]2\sin(2x) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)(-2)[/tex].

3) Разделим обе части уравнения на -2:

[tex]\sin(2x) = \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}{-1}[/tex].

4) Воспользуемся формулой синуса разности углов, получим:

[tex]\sin(2x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{3\pi}{2} + x\right)\right)[/tex].

5) Используя свойство синуса разности углов, получим:

[tex]\sin(2x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} - x\right)[/tex].

6) Упростим выражение в скобках:

[tex]\sin(2x) = \sin\left(-\pi - x\right)[/tex].

7) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое гласит:

[tex]\sin(\alpha)=\sin(\beta) \iff \alpha=\beta + 2k \pi \text{ или } \alpha=\pi - \beta + 2k \pi[/tex],

где [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] - углы, [tex]k[/tex] - целое число.

8) Запишем уравнение с учетом основного тригонометрического тождества:

[tex]2x = -\pi - x + 2k \pi \text{ или } 2x = \pi + x + 2k \pi[/tex].

9) Решим каждое из полученных уравнений:

- для первого уравнения:

[tex]3x = -\pi + 2k \pi \text{ или } x = \frac{-\pi}{3} + \frac{2k \pi}{3}[/tex],

- для второго уравнения:

[tex]x = \pi + 2k \pi[/tex].

Дополнительный материал:
а) Для нахождения решения уравнения [tex]5^{2\sin(2x)}=\left(\frac{1}{25}\right)^{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}[/tex], следуйте шагам, описанным выше.
б) Чтобы определить все значения [tex]x[/tex], которые являются корнями данного уравнения и принадлежат отрезку [tex]\left(\frac{3\pi}{2}, +\infty\right)[/tex], решите уравнения, полученные в пункте 9, и проверьте, какие из полученных значений [tex]x[/tex] удовлетворяют данному условию.

Совет: В процессе решения уравнения с участием тригонометрических функций, важно знать основные свойства тригонометрии, формулы суммы и разности углов, а также справочные таблицы тригонометрических значений.

Проверочное упражнение: Найдите все значения [tex]x[/tex], которые являются корнями уравнения [tex]2^{2x}=\left(\frac{1}{16}\right)^{\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}[/tex] и принадлежат отрезку [tex]\left(\frac{\pi}{2}, 2\pi\right)[/tex].