27.15 Using the algorithm for finding derivatives (see point 2 in §27), derive the differentiation formula for: a

Тема: Правило дифференцирования для полиномов

Объяснение:

Для решения задачи будем использовать алгоритм для нахождения производной, указанный в пункте 2 §27.

Для начала, давайте вспомним правило дифференцирования для натуральных степенных функций x^n, где n - целое число (полиномы):

1) Если y = x^n, то dy/dx = n*x^(n-1).

Теперь рассмотрим каждый из заданных случаев:

a) y = x^2 + x.

Применяем правило дифференцирования:
dy/dx = d/dx(x^2) + d/dx(x) = 2x + 1.

b) y = 2x^2 - 3.

Применяем правило дифференцирования:
dy/dx = d/dx(2x^2) - d/dx(3) = 4x.

c) y = 3x - 2x^2.

Применяем правило дифференцирования:
dy/dx = d/dx(3x) - d/dx(2x^2) = 3 - 4x.

d) y = x^4.

Применяем правило дифференцирования:
dy/dx = d/dx(x^4) = 4x^3.

Теперь у нас есть производные функций для каждого заданного случая.

Например:
a) Для функции y = x^2 + x, получаем производную dy/dx = 2x + 1.

Совет:
Чтобы лучше понять правило дифференцирования для полиномов, регулярно решайте задачи по нахождению производных различных полиномов. Это поможет закрепить материал и лучше понять его применение.

Проверочное упражнение:
Найдите производную функции y = 5x^3 - 4x^2 + 2x - 1.

Тема вопроса: Производная функции

Объяснение:
Производная функции - это предельное значение отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. В математике существует алгоритм для нахождения производной функции.

a) Для функции y = x^2 + x:
Шаг 1: Разделяем функцию на слагаемые: y = x^2 + x.
Шаг 2: Находим производные каждого слагаемого:
Производная x^2 равна 2x.
Производная x равна 1.
Шаг 3: Суммируем производные: производная функции y = 2x + 1.

b) Для функции y = 2x^2 - 3:
Шаг 1: Разделяем функцию на слагаемые: y = 2x^2 - 3.
Шаг 2: Находим производные каждого слагаемого:
Производная 2x^2 равна 4x.
Производная -3 равна 0.
Шаг 3: Суммируем производные: производная функции y = 4x.

c) Для функции y = 3x - 2x^2:
Шаг 1: Разделяем функцию на слагаемые: y = 3x - 2x^2.
Шаг 2: Находим производные каждого слагаемого:
Производная 3x равна 3.
Производная -2x^2 равна -4x.
Шаг 3: Суммируем производные: производная функции y = 3 - 4x.

d) Для функции y = x^4:
Шаг 1: Разделяем функцию на слагаемые: y = x^4.
Шаг 2: Находим производные каждого слагаемого:
Производная x^4 равна 4x^3.
Шаг 3: Суммируем производные: производная функции y = 4x^3.

Пример:
a) Дана функция y = x^2 + x. Найдите ее производную.
Алгоритм:
Шаг 1: Разделите функцию на слагаемые: y = x^2 + x.
Шаг 2: Найдите производную каждого слагаемого:
- Производная x^2 равна 2x.
- Производная x равна 1.
Шаг 3: Суммируйте производные: производная функции y = 2x + 1.

Совет: Чтобы лучше понять производные функций, рекомендуется изучить правила дифференцирования, основные формулы и методы нахождения производных.

Задача на проверку: Найдите производную функции y = 5x^3 - 2x^2 + 3.