1) Каковы значения x, при которых выполняется уравнение 5tg(x) - 12ctg(x) + 11 = 0? 2) Какие значения x удовлетворяют

Суть вопроса: Решение тригонометрических уравнений

Описание:

1) Для решения уравнения 5tg(x) - 12ctg(x) + 11 = 0 нужно привести его к одной тригонометрической функции. Обратите внимание, что ctg(x) = 1/tg(x). Заменив ctg(x) в исходном уравнении, получим:

5tg(x) - 12/tg(x) + 11 = 0.

Далее, умножим каждый член уравнения на tg(x), чтобы избавиться от знаменателей:

5tg^2(x) - 12 + 11tg(x) = 0.

Теперь заменим tg^2(x) на 1 - cos^2(x):

5(1 - cos^2(x)) - 12 + 11tg(x) = 0.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

5 - 5cos^2(x) - 12 + 11tg(x) = 0.

Теперь заменим tg(x) на sin(x) / cos(x):

5 - 5cos^2(x) - 12 + 11sin(x) / cos(x) = 0.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

5cos^2(x) - 11sin(x) / cos(x) + 7 = 0.

Теперь умножим каждый член на cos(x), чтобы избавиться от знаменателя:

5cos^3(x) - 11sin(x) + 7cos(x) = 0.

Уравнение приведено к одной тригонометрической функции. Решить его можно графически или численными методами.

2) Для решения уравнения 5sin(2x) + 22sin^2(x) = 16 можно применить замену sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

5sin(2x) + 22(1 - cos^2(x)) = 16.

Применим формулу двойного аргумента синуса: sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

10sin(x)cos(x) + 22 - 22cos^2(x) = 16.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

22cos^2(x) - 10sin(x)cos(x) - 6 = 0.

Теперь умножим каждый член на 2, чтобы сократить коэффициенты:

44cos^2(x) - 20sin(x)cos(x) - 12 = 0.

Уравнение приведено к одной тригонометрической функции. Решить его можно графически или численными методами.

3) Для решения уравнения 2sin^2(x) - 10cos(2x) = 9sin(2x) можно также применить замену sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

2(1 - cos^2(x)) - 10cos(2x) = 9sin(2x).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

2 - 2cos^2(x) - 10cos(2x) = 9sin(2x).

Заменим cos(2x) на 1 - 2sin^2(x):

2 - 2cos^2(x) - 10(1 - 2sin^2(x)) = 9sin(2x).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

2 - 2cos^2(x) - 10 + 20sin^2(x) = 9sin(2x).

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

2cos^2(x) - 20sin^2(x) - 9sin(2x) + 8 = 0.

Уравнение приведено к одной тригонометрической функции. Решить его можно графически или численными методами.

Например:

1) Найти значения x, при которых выполняется уравнение 5tg(x) - 12ctg(x) + 11 = 0.

Совет:

Для решения тригонометрических уравнений полезно использовать известные тригонометрические тождества, чтобы выразить все в одной тригонометрической функции.

Задача на проверку:

Решите уравнение 3sin(x) + 2cos(x) = 1.