А) Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если радиус его основания равен 6 и объем конуса составляет

Угол и объем конуса

Разъяснение:
А) Чтобы найти угол при вершине осевого сечения конуса, мы должны использовать формулу для нахождения объема конуса и объединить ее с формулой для объема цилиндра. По определению, объем конуса равен трети объема цилиндра с тем же радиусом основания и высотой. В данном случае, объем конуса составляет 72π, поэтому объем цилиндра будет равен 3 * 72π = 216π (объем конуса * 3). Формула для объема цилиндра: V = π * r² * h (где V - объем, r - радиус основания, h - высота). Мы знаем, что радиус основания равен 6 (поэтому r = 6) и объем цилиндра равен 216π (поэтому V = 216π). Подставив эти значения в формулу, получим следующее уравнение: 216π = π * 6² * h. Упрощая уравнение, получим h = 6. Таким образом, высота конуса равна 6, а угол при вершине осевого сечения будет прямым углом, то есть 90 градусов.

Б) Чтобы найти объем конуса, зная его образующую и угол наклона к основанию, мы можем использовать формулу для объема конуса: V = (1/3) * π * r² * h (где V - объем, r - радиус основания, h - высота). Мы знаем, что образующая равна 6 (поэтому h = 6) и угол наклона к основанию равен 60 градусов. Для нахождения радиуса основания, мы можем использовать теорему синусов в прямоугольном треугольнике, так как у него есть противолежащий и гипотенуза. Согласно теореме синусов: sin(60°) = r/6. Таким образом, r = 6 * sin(60°) = 6 * √3/2 = 3√3. Подставим значения в формулу и получим: V = (1/3) * π * (3√3)² * 6 = 18π√3.

В) Чтобы найти объем тела вращения, нам нужно использовать формулу для объема цилиндра: V = π * r² * h (где V - объем, r - радиус основания, h - высота). Мы знаем, что высота треугольника равна 3 и острый угол равен 30 градусов. Если треугольник вращается вокруг большего катета, результирующим телом вращения будет цилиндр с радиусом 3 (так как высота треугольника равна радиусу цилиндра) и высотой, равной длине большего катета треугольника, который можно найти с помощью тригонометрических отношений: sin(30°) = h/3. Таким образом, h = 3 * sin(30°) = 3 * 1/2 = 3/2. Подставим эти значения в формулу и получим: V = π * 3² * (3/2) = 27π/2.

Например:
А) Найдите угол при вершине осевого сечения конуса с радиусом основания 6 и объемом 72π.
Б) Найдите объем конуса с образующей 6 и углом наклона к основанию 60 градусов.
В) Найдите объем полученного тела вращения, если прямоугольный треугольник с высотой 3 и острым углом 30 градусов вращается вокруг большего катета.

Совет:
Для лучшего понимания геометрических формул и проблем, связанных с углами, постарайтесь нарисовать диаграмму и использовать геометрические концепции для визуализации проблемы. Это поможет вам лучше понять пространственные отношения между элементами фигуры.

Закрепляющее упражнение:
Найдите угол при вершине осевого сечения конуса с радиусом основания 5 и объемом 125π.