Який є кут між площинами α і β, які перетинаються по прямій l? У площині α вибрано точку к і з неї проведено

Суть вопроса: Кут между плоскостями, пересекающимися по прямой.

Объяснение: Чтобы найти угол между плоскостями α и β, пересекающимися по прямой l, мы можем использовать геометрические свойства и теорему о трех перпендикулярах.

Пусть к - точка в плоскости α, m - точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки к, на плоскость β, и d - расстояние от точки к до прямой l.

Мы знаем, что расстояние от точки к до плоскости β равно 4√3 см, а расстояние от точки м до прямой l равно 4 см.

Возьмем отрезок cd, проведенный из точки на прямой l до точки пересечения перпендикуляра с плоскостью β. Также возьмем отрезок cm, проведенный из точки пересечения перпендикуляра с плоскостью β до точки м.

Исходя из теоремы о трех перпендикулярах, отрезок cd перпендикулярен обеим плоскостям α и β.

Таким образом, у нас образован прямоугольный треугольник cdm. Мы знаем, что cm = 4√3 см и cd = 4 см.

Чтобы найти угол между плоскостями α и β, мы можем использовать тригонометрию. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину отрезка dm:

dm² = cm² - cd² = (4√3)² - 4² = 48 - 16 = 32
dm = √32 = 4√2 см

Теперь, используя основное тригонометрическое соотношение sin α = противолежащий/гипотенуза, где α - искомый угол, получаем:

sin α = cd/dm = 4/4√2 = 1/√2 = √2/2

Затем мы можем найти угол α, применяя обратную функцию синуса:

α = arcsin(√2/2) ≈ 45 градусов.

Таким образом, угол между плоскостями α и β, пересекающимися по прямой l, составляет приблизительно 45 градусов.

Совет: Чтобы лучше понять эту задачу, рекомендуется понимать основные принципы геометрии, включая теорему Пифагора, теорему о трех перпендикулярах, а также тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника.

Практика: Каков будет угол между плоскостями α и β, если расстояние от точки к до плоскости β равно 6 см, а расстояние от точки м до прямой l равно 3 см?