Какова площадь четырехугольника АВСД, если координаты его вершин А (16;3), В (18;5), С (16;7) и Д (14;5)?

Название: Площадь четырехугольника по координатам вершин

Пояснение: Чтобы найти площадь четырехугольника по координатам вершин, мы можем использовать формулу площади треугольника, построенного на двух сторонах четырехугольника и диагонали.

Для начала, найдем длину сторон четырехугольника, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Длина стороны AB: √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
AB = √((18 - 16)^2 + (5 - 3)^2) = √(2^2 + 2^2) = √8

Длина стороны BC: √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
BC = √((16 - 18)^2 + (7 - 5)^2) = √((-2)^2 + 2^2) = √8

Длина стороны CD: √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
CD = √((14 - 16)^2 + (5 - 7)^2) = √((-2)^2 + (-2)^2) = √8

Длина стороны AD: √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
AD = √((14 - 16)^2 + (5 - 3)^2) = √((-2)^2 + 2^2) = √8

Теперь найдем площадь треугольников ABC и CDA, используя формулу площади треугольника по сторонам и диагонали:

Площадь треугольника ABC: S1 = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CD))
где p = (AB + BC + CD) / 2
p = (√8 + √8 + √8) / 2
p = 3√8 / 2

S1 = √(3√8 / 2 * (3√8 / 2 - √8) * (3√8 / 2 - √8) * (3√8 / 2 - √8))
S1 = √(3√8 / 2 * (√8 / 2)^3)
S1 = √(3 * 8 * √2 / 2 * 2^3)
S1 = √(48√2 / 16)
S1 = √(3√2 / 2)
S1 = 3 / 2 * √2

Аналогично находим площадь треугольника CDA: S2 = 3 / 2 * √2

Таким образом, общая площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABC и CDA:

S = S1 + S2 = 3 / 2 * √2 + 3 / 2 * √2 = 3√2

Пример: Найдите площадь четырехугольника ABCD, если A (16,3), B (18,5), C (16,7) и D (14,5).

Совет: Представление четырехугольника и его координат на координатной плоскости может помочь визуализировать задачу и легче определить стороны и диагонали четырехугольника.

Дополнительное задание: Найдите площадь четырехугольника EFGH, если E (10,12), F (15,8), G (13,5) и H (8,9).