Если увеличить площадь поверхности надувного шарика, то насколько увеличится его радиус?

Тема урока: Площадь поверхности и радиус надувного шарика

Пояснение: Поставим перед собой задачу понять, как изменится радиус надувного шарика в зависимости от изменения его площади поверхности. Для начала, давайте разберемся, какие взаимосвязи существуют между этими двумя характеристиками.

Площадь поверхности (S) надувного шарика пропорциональна квадрату его радиуса (R). То есть, если мы увеличиваем радиус в какое-то число раз, то площадь поверхности будет увеличиваться в квадрат этого числа.

Формула для вычисления площади поверхности сферы:

S = 4πR²,

где π (пи) - это математическая константа, примерно равная 3,14.

Теперь давайте предположим, что мы увеличили площадь поверхности надувного шарика в k раз. Пусть S₁ - изначальная площадь поверхности, а S₂ - измененная площадь поверхности. Тогда можем записать следующее уравнение:

S₂ = kS₁.

Найдем соотношение между радиусами R₁ и R₂, соответствующими изначальной и измененной площадям поверхности:

4πR₂² = k(4πR₁²),

Упростим это уравнение, деля обе части на 4π:

R₂² = kR₁².

Наконец, извлекая квадратный корень, получим окончательное соотношение между радиусами:

R₂ = √kR₁.

Таким образом, при увеличении площади поверхности надувного шарика в k раз, его радиус увеличится в √k раз.

Доп. материал: Предположим, что у нас есть надувной шарик с радиусом R₁ = 3 см и его площадью поверхности S₁ = 36π см². Если мы увеличим площадь поверхности в 4 раза (т.е. k = 4), то новый радиус R₂ будет:

R₂ = √(4 * 3) = √12 ≈ 3.46 см.

Таким образом, при увеличении площади поверхности шарика в 4 раза, его радиус увеличится примерно на 15%.

Совет: Для более точного и детального понимания связи между площадью поверхности и радиусом надувного шарика, рекомендуется провести опыт самостоятельно. Возьмите несколько надувных шариков разного размера и замерьте их радиусы и площади поверхности с помощью известных формул. Затем увеличьте площадь путем надувания шарика и сравните результаты с теоретическими расчетами.

Закрепляющее упражнение: Изначальный радиус надувного шарика равен 5 см, а его площадь поверхности составляет 100π см². Если увеличить площадь поверхности надувного шарика в 9 раз, найдите новое значение радиуса.

Тема урока: Увеличение площади поверхности надувного шарика

Описание:
Представьте себе надувной шарик с начальным радиусом R и площадью поверхности S. Для увеличения площади поверхности шарика мы должны изменить его радиус. Давайте посмотрим, как изменения влияют на радиус.

Формула для площади поверхности шарика выглядит следующим образом:

S = 4 * π * R^2,

где S - площадь поверхности, π - константа Пи, а R - радиус шарика.

Теперь, если мы хотим увеличить площадь поверхности, обозначим новую площадь как S" и новый радиус как R". Используя формулу, мы можем записать:

S" = 4 * π * R"^2.

Мы хотим выразить изменение радиуса в зависимости от изменения площади поверхности. Поскольку S" больше, чем S, мы можем записать соотношение:

4 * π * R"^2 > 4 * π * R^2.

Разделим обе части этого неравенства на 4 * π и получим:

R"^2 > R^2.

Чтобы найти значение R", возьмем квадратный корень от обеих сторон:

R" > R.

Таким образом, радиус надувного шарика будет увеличиваться при увеличении площади поверхности.

Демонстрация:
Если начальный радиус надувного шарика R = 5 см и его площадь поверхности S = 100 см^2, а мы хотим увеличить площадь поверхности до S" = 200 см^2, мы можем использовать соотношение R"^2 > R^2. В квадрате обеих сторон неравенства получим:

R" > √R^2,
R" > √25,
R" > 5.

Таким образом, новый радиус R" должен быть больше 5 см.

Совет:
Если вы хотите на практике увеличить площадь поверхности надувного шарика, вы можете взять больший размер шарика или надуть его сильнее.
Чтобы лучше понять эту концепцию, вы можете провести эксперимент, надувая шарики различных размеров и сравнивая их площади поверхностей и радиусы.

Упражнение:
Если начальный радиус надувного шарика R = 8 см и его площадь поверхности S = 256 π см^2, а мы хотим увеличить площадь поверхности до S" = 1024 π см^2, насколько должен увеличиться радиус R"?