Докажите параллельность плоскостей следующим параллелепипедам: а) abcda1b1c1d1 и abb1cdd1 ; б) abcda1b1c1d1

Тема: Доказательство параллельности плоскостей параллелепипедов
Описание:
Чтобы доказать параллельность плоскостей данных параллелепипедов, нам нужно проверить, будут ли векторы, перпендикулярные плоскостям, одновременно параллельны.
а) Для параллелепипедов abcda1b1c1d1 и abb1cdd1, составим векторные уравнения плоскостей.
Плоскость abcda1b1c1d1 задается векторным уравнением:
r₁ = a + λ(b - a) + μ(c - a), где λ и μ - параметры.
Плоскость abb1cdd1 задается векторным уравнением:
r₂ = a + λ(b - a) + μ(c - a) + ν(d - a), где λ, μ и ν - параметры.
Мы можем сравнить коэффициенты при λ, μ и ν в обоих уравнениях. Если эти коэффициенты совпадают, то векторы, перпендикулярные плоскостям, параллельны, и плоскости параллельны.
б) Для параллелепипедов abcda1b1c1d1 и ab1d1bdc1, составим векторные уравнения плоскостей.
Плоскость abcda1b1c1d1 задается векторным уравнением:
r₁ = a + λ(b - a) + μ(c - a), где λ и μ - параметры.
Плоскость ab1d1bdc1 задается векторным уравнением:
r₂ = a + λ(b - a) + ν(d - a) + μ(c - a), где λ, μ и ν - параметры.
Мы можем сравнить коэффициенты при λ, μ и ν в обоих уравнениях. Если эти коэффициенты совпадают, то векторы, перпендикулярные плоскостям, параллельны, и плоскости параллельны.
Демонстрация:
а) Мы замечаем, что коэффициенты при λ, μ и ν в векторных уравнениях плоскостей abcda1b1c1d1 и abb1cdd1 равны, что означает, что плоскости параллельны.
б) Мы замечаем, что коэффициенты при λ, μ и ν в векторных уравнениях плоскостей abcda1b1c1d1 и ab1d1bdc1 не совпадают, что означает, что плоскости не параллельны.
Совет: Когда решаете данную задачу, обратите внимание на коэффициенты при λ, μ и ν. Ориентируйтесь на их равенство или различие.
Задача для проверки: Напишите векторные уравнения для плоскостей параллелепипедов acdbca1b1 и abd1cda1. Докажите, что плоскости параллельны.

Доказательство параллельности плоскостей параллелепипедов:

а) Для доказательства параллельности плоскостей параллелепипедов *abcda1b1c1d1* и *abb1cdd1*, мы должны установить, что все четыре ребра, идущие от вершины b параллелепипеда *abcda1b1c1d1*, лежат в плоскости *abb1cdd1*. Так как мы должны оставить букву "б" в обоих примерах, то это значит, что ребра *abb1*, *ab1* и *b1c* лежат в плоскости *abb1cdd1*. Также, ребро *bc* лежит в плоскости *abb1cdd1*, так как плоскость *abb1cdd1* содержит вершину *b* и линию, соединяющую вершины *b* и *c*. Следовательно, плоскости параллелепипедов *abcda1b1c1d1* и *abb1cdd1* параллельны.

б) Для доказательства параллельности плоскостей параллелепипедов *abcda1b1c1d1* и *ab1d1bdc1*, мы должны установить, что все четыре ребра, идущие от вершины *b* параллелепипеда *abcda1b1c1d1*, лежат в плоскости *ab1d1bdc1*. Так как мы должны оставить букву "б" в обоих примерах, то это значит, что ребра *ab1*, *abb1* и *bc* лежат в плоскости *ab1d1bdc1*. Также, ребро *cd* лежит в плоскости *ab1d1bdc1*, так как плоскость *ab1d1bdc1* содержит вершину *d* и линию, соединяющую вершины *c* и *d*. Следовательно, плоскости параллелепипедов *abcda1b1c1d1* и *ab1d1bdc1* параллельны.

Совет: Чтобы лучше понять задачу, важно помнить определение параллельности плоскостей и узнать, какие ребра и вершины наших параллелепипедов лежат в нужных плоскостях. Также полезно нарисовать схематичный рисунок, чтобы визуализировать структуру параллелепипедов.

Дополнительное упражнение: Найдите параллельные плоскости в параллелепипеде *abcfedhg*.