Докажите, что скалярное произведение векторов AB и DB равно нулю, при условии, что AD и CB параллельны

Предмет вопроса: Скалярное произведение векторов

Объяснение:
Скалярное произведение векторов определяется как произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними. Если скалярное произведение равно нулю, то это означает, что векторы перпендикулярны друг другу.

Дано, что векторы AD и CB параллельны. Это означает, что угол между векторами AD и CB равен 0 градусов или 180 градусов, так как параллельные векторы имеют одинаковое направление или противоположное направление.

Теперь рассмотрим скалярное произведение векторов AB и DB:
AB ⋅ DB = |AB| |DB| cos θ,

где |AB| и |DB| - модули векторов AB и DB соответственно,
θ - угол между векторами AB и DB.

Из условия задачи следует, что векторы AD и CB параллельны, и, следовательно, угол θ между векторами AB и DB равен 0 градусов или 180 градусов.

Когда θ = 0° или θ = 180°, cos θ = 1 или cos θ = -1 соответственно.

Следовательно, AB ⋅ DB = |AB| |DB| cos θ = |AB| |DB| * (1) = |AB| |DB| * (-1) = 0.

Таким образом, мы доказали, что скалярное произведение векторов AB и DB равно нулю, при условии, что AD и CB параллельны.

Демонстрация:
Пусть вектор AB имеет модуль 3 и направление вдоль положительной оси x, а вектор DB имеет модуль 2 и направление вдоль отрицательной оси x. Мы можем использовать скалярное произведение для доказательства, что они перпендикулярны:
AB ⋅ DB = |AB| |DB| cos θ = 3 * 2 * cos 180° = 6 * (-1) = -6. Полученный результат равен нулю, что означает, что векторы AB и DB перпендикулярны друг другу.

Совет:
Для лучшего понимания скалярного произведения векторов, рекомендуется ознакомиться с понятием модуля вектора, косинуса угла между векторами и простейшими операциями над векторами, такими как сложение и вычитание. Также полезно визуализировать векторы на координатной плоскости и представлять их в виде стрелок с определенными направлениями и длинами.

Задача на проверку:
Пусть вектор AB имеет модуль 4 и направление вдоль положительной оси y, а вектор DB имеет модуль 5 и направление вдоль положительной оси x. Рассчитайте скалярное произведение векторов AB и DB и определите, равно ли оно нулю в соответствии с условием параллельности векторов AD и CB.