6. Найдите неизвестные размеры (рис. 2) и вычислите значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов

Тема: Тригонометрия и нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов

Пояснение: Чтобы найти неизвестные размеры в данной задаче, мы можем использовать тригонометрические отношения.

Для начала, давайте обозначим неизвестные размеры, согласно рисунку 2. Пусть длина горизонтального катета равна х, длина вертикального катета равна у, а гипотенуза равна z.

Для треугольника ABC: по определению, синус острого угла A равен соотношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть sin(A) = у/z.

Аналогично, cos(A) = х/z и tg(A) = у/х. Котангенс (ctg(A)) равен обратному значению tg(A), то есть ctg(A) = х/у.

Подставляя значения длин катетов и гипотенузы, можно вычислить значения sin(A), cos(A), tg(A) и ctg(A) для каждого случая:

а) Длина горизонтального катета: 12 cm, длина вертикального катета: (x + 6) cm, гипотенуза: x cm.

sin(A) = (x + 6)/x, cos(A) = 12/x, tg(A) = (x + 6)/12x, ctg(A) = 12/(x + 6).

б) Длина горизонтального катета: -6 cm, длина вертикального катета: x cm, гипотенуза: 12 cm.

sin(A) = x/12, cos(A) = -6/12 = -1/2, tg(A) = x/-6, ctg(A) = -1/2.

Пример использования:
а) Пусть x = 8. Тогда sin(A) = (8 + 6)/8 = 7/4, cos(A) = 12/8 = 3/2, tg(A) = (8 + 6)/(12 * 8) = 7/32, ctg(A) = 12/(8 + 6) = 6/7.
б) Пусть x = 4. Тогда sin(A) = 4/12 = 1/3, cos(A) = -6/12 = -1/2, tg(A) = 4/-6 = -2/3, ctg(A) = -1/2.

Совет: Чтобы лучше понять тригонометрические отношения, важно запомнить определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Также полезно хорошо освоить геометрическую интерпретацию этих функций.

Упражнение:
Найдите значения sin(A), cos(A), tg(A) и ctg(A) для случаев:
а) x = 10, y = 8, z = 15.
б) x = 3, y = 4, z = 5.