1) Какой из векторов равен вектору c(3; 1; 2)? а) b(2; 3; 1) б) a(3; 1; 2) в) x(1; 2; 3) г) n(1; 3; 2) 2) При каких

1) Задача: Нам дан вектор c(3; 1; 2), и нам нужно определить, какой из векторов a, b, x или n равен ему.

Решение: Чтобы вектор c был равен вектору a, каждая из координат вектора c должна совпадать с соответствующей координатой вектора a. Если мы сравним каждую координату вектора c с каждой координатой векторов a, b, x и n, мы увидим, что только вектор a(3; 1; 2) имеет такие же значения координат. Поэтому ответ: а) a(3; 1; 2).

Например: Какой из векторов равен вектору c(3; 1; 2)? а) b(2; 3; 1) б) a(3; 1; 2) в) x(1; 2; 3) г) n(1; 3; 2)

Совет: Чтобы проще понять и решить эту задачу, вы можете сравнить координаты каждого вектора с координатами вектора c, чтобы найти соответствующий вектор.

Практика: Какой из векторов равен вектору d(5; 2; 4)? а) b(2; 4; 5) б) a(5; 2; 4) в) x(4; 2; 5) г) n(4; 5; 2)

Решение:
1) Вектор c(3; 1; 2) равен вектору б), а(3; 1; 2), так как значения компонент совпадают.

2) Векторы a(2; 1; n) и b(-3; m; n) ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Запишем эту условие и решим его при различных значениях n:
a*x + b*y + c*z = 0
(2*(-3)) + (1*m) + (n*n) = 0
-6 + m + n^2 = 0
Так как выражение содержит переменную m, то при любом n векторы не будут ортогональными. Ответ - a) Всегда.

3) Длина вектора m=a-2b вычисляется по формуле:
|m| = sqrt((a-2b) * (a-2b))
|m| = sqrt(a^2 - 4*a*b + 4*b^2)
|m| = sqrt(2^2 - 4*2*1 + 4*1^2)
|m| = sqrt(4 - 8 + 4)
|m| = sqrt(0)
|m| = 0

4) Для нахождения косинуса угла а треугольника abc используем формулу:
cos(α) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|)
Переведем точки a, b и c в вектора:
AB = b - a = (1-0; -1-1; 0+1) = (1; -2; 1)
AC = c - a = (0-0; 1-1; 1+1) = (0; 0; 2)
Вычислим длины векторов:
|AB| = sqrt(1^2 + (-2)^2 + 1^2) = sqrt(1 + 4 + 1) = sqrt(6)
|AC| = sqrt(0^2 + 0^2 + 2^2) = sqrt(4) = 2
Подставим значения в формулу:
cos(α) = ((1*0) + (-2*0) + (1*2)) / (sqrt(6) * 2) = 2 / (2*sqrt(6)) = 1 / sqrt(6)

5) Для того, чтобы векторы а(-1; 4; -2) и b(-3; m; n) были параллельны, их компоненты должны пропорциональны. Запишем это условие:
-1 / -3 = 4 / m = -2 / n
Из этого получаем следующие уравнения:
-m = 12
n = -2
Подставим значения вектора b:
b = (-3; 12; -2)

Ответ:
1) б) a(3; 1; 2)
2) а) Всегда
3) |m| = 0
4) cos(α) = 1 / sqrt(6)
5) m = 12, n = -2