Знайдіть проміжки зростання та спаду, точки локальних екстремумів та значення функції у = 2х-x²

Тема: Анализ функции у = 2х - x²

Разъяснение:

Для анализа функции y = 2x - x², мы должны исследовать ее поведение, выявить промежутки возрастания и убывания, точки локальных экстремумов и значения функции.

1. Промежутки возрастания и убывания:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, нужно найти производную функции (dy/dx) и найти значения x, для которых производная будет больше нуля (промежутки возрастания) или меньше нуля (промежутки убывания).

Проведя вычисления, мы найдем, что производная функции равна: dy/dx = 2 - 2x.

Установим dy/dx = 0 и найдем x, чтобы определить точки локальных экстремумов.

2 - 2x = 0
2x = 2
x = 1

Теперь мы можем построить таблицу со значениями x и относительными изменениями функции:

x | -∞ | 1 | ∞
---|----|----|---
y' | - | 0 | +

Исходя из этой таблицы, видно, что функция возрастает на промежутке (-∞, 1) и убывает на промежутке (1, ∞).

2. Точки локальных экстремумов:

Точка x = 1 является точкой локального максимума, так как значение производной меняется с отрицательного на положительное.

3. Значение функции:

Чтобы найти значения функции у = 2х - х², подставьте различные значения x в уравнение функции.

Например, для x = 0:
у = 2 * 0 - 0²
у = 0

Совет:

Для лучшего понимания анализа функции вам может быть полезно построить график функции y = 2х - х². Это поможет визуализировать промежутки возрастания и убывания, точки локальных экстремумов и значения функции.

Задание для закрепления:

1. Найдите промежуток возрастания и убывания функции y = 3x² + 2x - 1.
2. Найдите точки локальных экстремумов функции y = x³ - 3x² + 2x.
3. Найдите значения функции y = 4 - x² при x = -2 и x = 3.