Задание 4. Имеются две линейные функции f(x) и g(x). График f(x) проходит через точки А(0;2) и В(5;1). График

Содержание вопроса: Решение системы уравнений с двумя линейными функциями

Пояснение: Для решения данной системы уравнений, где заданы две линейные функции f(x) и g(x) и их точки пересечения, нам необходимо найти формулы этих функций и координаты точки пересечения.

а) Чтобы представить функцию f(x) в виде формулы, мы можем использовать уравнение прямой вида y = kx + b, где k - это коэффициент наклона, а b - это свободный член. Мы знаем, что график f(x) проходит через точки А(0;2) и В(5;1). Можем найти коэффициент наклона k, используя следующую формулу: k = (y2 - y1) / (x2 - x1).

Используя значения из точек А и В, мы получаем: k = (1 - 2) / (5 - 0) = -1/5. Зная коэффициент наклона k, мы можем найти свободный член b, используя одну из точек. Возьмем точку А(0;2). Подставляем известные значения в уравнение прямой y = kx + b и решаем его относительно b:

2 = (-1/5)*0 + b
b = 2

Таким образом, формула функции f(x) будет выглядеть f(x) = (-1/5)x + 2.

б) Аналогично для функции g(x), которая проходит через точки С(3;2) и D(-3;1). Мы можем найти коэффициент наклона k, используя формулу k = (y2 - y1) / (x2 - x1), где x1, y1 - координаты точки С, x2, y2 - координаты точки D.

k = (1 - 2) / (-3 - 3) = -1/-6 = 1/6.

Используя точку С(3;2), подставим известные значения в уравнение прямой y = kx + b и найдем b:

2 = (1/6)*3 + b
2 = 1/2 + b
b = 2 - 1/2 = 3/2

Формула функции g(x) будет g(x) = (1/6)x + 3/2.

в) Чтобы найти координаты точки пересечения графиков, приравняем f(x) и g(x) и решим получившееся уравнение:

(-1/5)x + 2 = (1/6)x + 3/2

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

(1/6)x + (1/5)x = 3/2 - 2
(11/30)x = -1/2

Упрощаем:

11x = -15

Находим x:

x = -15 / 11

Подставляем найденное значение x обратно в любую из функций, например, в f(x):

f(-15 / 11) = (-1/5)*(-15/11) + 2 = 3 / 11 + 2

Получаем:

f(-15/11) = 3/11 + 22/11 = 25/11

Таким образом, координаты точки пересечения графиков равны x = -15/11, y = 25/11.

Совет: Для решения подобных задач по системам линейных уравнений, рекомендуется последовательно применять шаги:

1. Найдите коэффициент наклона k, используя формулу k = (y2 - y1) / (x2 - x1).
2. Используя одну из точек и значение k, найдите свободный член b, подставив значения в уравнение прямой.
3. Получите формулу функции.
4. Приравняйте две функции между собой и решите получившееся уравнение, чтобы найти координаты точки пересечения.

Упражнение: Найдите функции f(x) и g(x), если график f(x) проходит через точки A(1;3) и B(4;5), а график g(x) проходит через точки С(2;4) и D(5;2). Затем найдите координаты точки пересечения графиков.