Які ймовірності того, що тризначне число складатиметься з різних цифр, буде кратним трьом?

Содержание: Ймовірність того, що тризначне число складатиметься з різних цифр і буде кратним трьом.

Пояснення: Для вирішення цієї задачі необхідно знати деякі правила ймовірності і використовувати арифметику.

Насамперед, з"ясуємо кількість трьохцифрових чисел, які можна утворити з різних цифр (без повторень). Для цього оберемо першу цифру числа. Маємо 9 варіантів (цифри від 1 до 9 включно), оскільки перша цифра не може бути нулем. Потім оберемо другу цифру числа. Заодно вона не може співпадати з першою. Маємо лише 9 варіантів (всі цифри, крім обраної на першому кроці). Нарешті, оберемо третю цифру числа. Вона не може співпадати з першою і другою. У нас залишилося лише 8 варіантів (всі цифри, крім обраних на перших двох кроках).

Таким чином, всього можна утворити 9 * 9 * 8 = 648 трьохцифрових чисел з різних цифр.

Далі, знайдемо кількість трьохцифрових чисел, які є кратними трьом. Для цього знайдемо кількість трьохцифрових чисел, які є кратними трьом, і не містять повторюваних цифр.

Знаходимо повну кількість трьохцифрових чисел: 9 * 10 * 10 = 900.

Знаходимо кількість трьохцифрових чисел, що не містять повторюваних цифр і кратні трьом: Число першої цифри може бути 1, 2, 4, 5, 7 або 8 (6 варіантів). Якщо цифра 1 або 4, то друга цифра може бути будь-якою (10 варіантів), якщо цифра 2 або 5, то друга цифра повинна бути парною (5 варіантів), якщо цифра 7 або 8, то друга цифра повинна бути непарною (5 варіантів). Третя цифра повинна бути така, щоб сума всіх цифр була кратна трьом. Для перших двох випадків (1 або 4 в першій цифрі) сума цифр може бути 3, 6 або 9 (3 варіанти), для другого випадку (2 або 5 в першій цифрі) сума цифр може бути 6 або 9 (2 варіанти), для третього випадку (7 або 8 в першій цифрі) сума цифр може бути 4 або 7 (2 варіанти).

Таким чином, кількість трьохцифрових чисел, які є кратними трьом і не містять повторюваних цифр, дорівнює 6 * (10 + 5 + 5) * (3 + 2) = 480.

Отже, ймовірність того, що трьохцифрове число складатиметься з різних цифр і буде кратним трьом, розраховується як відношення кількості сприятливих випадків до кількості всіх можливих варіантів: 480/648 ≈ 0.741.

Приклад використання: Які ймовірності того, що трьохцифрове число складатиметься з різних цифр і буде кратним трьом?

Рекомендації: Для кращого розуміння обчислень, зверніть увагу на правила комбінаторики та ділення націло.

Вправа: Скільки сприятливих випадків знайдено було б для чисел, що складаються з різних цифр і є кратними п"яти? Відповідь: 576.