Які абсциси представляють проміжки, на яких функція y=1/4x^4-1/2x^2+5 спадає? Записати додатну абсцису серед
Які абсциси представляють проміжки, на яких функція y=1/4x^4-1/2x^2+5 спадає? Записати додатну абсцису серед цих проміжків.
09.12.2023 06:42
Верные ответы (1):
Звездный_Пыл
5
Показать ответ
Содержание: Функция спадения
Разъяснение:
Чтобы определить интервалы, на которых функция y=1/4x^4-1/2x^2+5 убывает, нам необходимо вычислить производную этой функции, а затем найти значения x, при которых производная отрицательна.
Сначала найдем производную функции y=1/4x^4-1/2x^2+5. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности:
y" = (1/4)*4x^3 - (1/2)*2x = x^3 - x
Чтобы найти абсциссы, в которых функция y убывает, нам нужно решить следующее уравнение:
x^3 - x < 0
Мы можем провести анализ знаков функции x^3 - x для разных значений x, чтобы определить, в каких интервалах у нас возникает убывание.
Мы знаем, что уравнение x^3 - x = 0 имеет три корня: x = -1, x = 0 и x = 1.
Мы можем выбрать тестовые точки в каждом интервале:
- Для интервала (-∞, -1), возьмем x = -2;
- Для интервала (-1, 0), возьмем x = -0.5;
- Для интервала (0, 1), возьмем x = 0.5;
- Для интервала (1, +∞), возьмем x = 2.
Подставим значения в x^3 - x, чтобы найти знаки:
- При x = -2, получаем (-2)^3 - (-2) = -8 + 2 = -6, что меньше нуля;
- При x = -0.5, получаем (-0.5)^3 - (-0.5) = -0.125 + 0.5 = 0.375, что больше нуля;
- При x = 0.5, получаем (0.5)^3 - (0.5) = 0.125 - 0.5 = -0.375, что меньше нуля;
- При x = 2, получаем (2)^3 - (2) = 8 - 2 = 6, что больше нуля.
Итак, функция y=1/4x^4-1/2x^2+5 убывает на интервалах (-∞, -1) и (0, 1).
Чтобы найти положительные абсциссы на этих интервалах, мы можем взять середину каждого интервала.
- Для интервала (-∞, -1), середина будет равна -1/2.
- Для интервала (0, 1), середина будет равна 1/2.
Получаем ответ: додатні абсциси серед цих проміжків -1/2 та 1/2.
Совет: Для лучшего понимания математических функций и их поведения рекомендуется изучать графики функций и проводить анализ знаков производных на разных интервалах.
Дополнительное упражнение: Найдите интервалы, на которых функция y = x^3 - 6x^2 + 9x убывает и определите положительные абсциссы на этих интервалах.
Все ответы даются под вымышленными псевдонимами! Здесь вы встретите мудрых наставников, скрывающихся за загадочными никами, чтобы фокус был на знаниях, а не на лицах. Давайте вместе раскроем тайны обучения и поищем ответы на ваши школьные загадки.
Разъяснение:
Чтобы определить интервалы, на которых функция y=1/4x^4-1/2x^2+5 убывает, нам необходимо вычислить производную этой функции, а затем найти значения x, при которых производная отрицательна.
Сначала найдем производную функции y=1/4x^4-1/2x^2+5. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности:
y" = (1/4)*4x^3 - (1/2)*2x = x^3 - x
Чтобы найти абсциссы, в которых функция y убывает, нам нужно решить следующее уравнение:
x^3 - x < 0
Мы можем провести анализ знаков функции x^3 - x для разных значений x, чтобы определить, в каких интервалах у нас возникает убывание.
Мы знаем, что уравнение x^3 - x = 0 имеет три корня: x = -1, x = 0 и x = 1.
Мы можем выбрать тестовые точки в каждом интервале:
- Для интервала (-∞, -1), возьмем x = -2;
- Для интервала (-1, 0), возьмем x = -0.5;
- Для интервала (0, 1), возьмем x = 0.5;
- Для интервала (1, +∞), возьмем x = 2.
Подставим значения в x^3 - x, чтобы найти знаки:
- При x = -2, получаем (-2)^3 - (-2) = -8 + 2 = -6, что меньше нуля;
- При x = -0.5, получаем (-0.5)^3 - (-0.5) = -0.125 + 0.5 = 0.375, что больше нуля;
- При x = 0.5, получаем (0.5)^3 - (0.5) = 0.125 - 0.5 = -0.375, что меньше нуля;
- При x = 2, получаем (2)^3 - (2) = 8 - 2 = 6, что больше нуля.
Итак, функция y=1/4x^4-1/2x^2+5 убывает на интервалах (-∞, -1) и (0, 1).
Чтобы найти положительные абсциссы на этих интервалах, мы можем взять середину каждого интервала.
- Для интервала (-∞, -1), середина будет равна -1/2.
- Для интервала (0, 1), середина будет равна 1/2.
Получаем ответ: додатні абсциси серед цих проміжків -1/2 та 1/2.
Совет: Для лучшего понимания математических функций и их поведения рекомендуется изучать графики функций и проводить анализ знаков производных на разных интервалах.
Дополнительное упражнение: Найдите интервалы, на которых функция y = x^3 - 6x^2 + 9x убывает и определите положительные абсциссы на этих интервалах.