What is the solution to the equation 0.4^(lg^2(x+1)) - 6.25^(2 - lgx^3) = 0? If the equation has more than one root

Решение:
Данное уравнение имеет вид: 0.4^(lg^2(x+1)) - 6.25^(2 - lgx^3) = 0.

Для начала, заметим, что экспонента может быть записана в виде логарифма и наоборот. Также, нам следует использовать основное свойство логарифма, a^log_a(x) = x.

Применим эти свойства для упрощения уравнения:
- Перепишем 0.4^(lg^2(x+1)) как (0.4^(lg(x+1)))^lg(x+1).
- Перепишем 6.25^(2 - lgx^3) как (6.25^2)/(6.25^lg(x^3)).

Теперь уравнение принимает следующий вид:
(0.4^lg(x+1))^lg(x+1) - (6.25^2)/(6.25^lg(x^3)) = 0.

Заменим 0.4^lg(x+1) на a и 6.25^(lg(x^3)) на b, чтобы избавиться от сложных выражений. Получим:
a^lg(x+1) - (6.25^2)/b = 0.

Теперь можно заметить, что a и b являются положительными числами. Следовательно, a^lg(x+1) и (6.25^2)/b также будут положительными.

Таким образом, чтобы решить уравнение, единственный способ получить ноль, это когда оба слагаемых равны нулю.

Итак, получаем два уравнения:
a^lg(x+1) = 0,
(6.25^2)/b = 0.

Переписываем первое уравнение в виде:
lg(x+1) = 0,
10^lg(x+1) = 10^0,
x + 1 = 1,
x = 0.

Переписываем второе уравнение в виде:
b = 0,
6.25^lg(x^3) = 0,
10^lg(x^3) = 0,
x^3 = 0.

Заметим, что значение x=0 является решением в обоих уравнениях.

Таким образом, уравнение имеет одно решение x = 0