What is the simplified form of the expression (2a^2 + 12a)/(a^2 - 25) + (8a - 9)/(25 - a^2) - (a^2 + 14 - 16)/(a^2

Тема вопроса: Упрощение выражений с рациональными функциями

Инструкция: Для упрощения данного выражения с рациональными функциями, нам необходимо привести все дроби к общему знаменателю и сложить числители. В данном случае, общим знаменателем будет являться разность квадратов "a^2 - 25".

Давайте приступим к упрощению:

Каждую дробь приведем к общему знаменателю:
(2a^2 + 12a)/(a^2 - 25) + (8a - 9)/(25 - a^2) - (a^2 + 14 - 16)/(a^2 - 25)

Чтобы привести первую дробь к общему знаменателю, умножим числитель и знаменатель на "25 - a^2":
(2a^2 + 12a)(25 - a^2)/[(a^2 - 25)(25 - a^2)] + (8a - 9)/(25 - a^2) - (a^2 + 14 - 16)/(a^2 - 25)

Аналогично, приведем вторую дробь к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на "a^2 - 25":
(2a^2 + 12a)(25 - a^2)/[(a^2 - 25)(25 - a^2)] + (8a - 9)(a^2 - 25)/[(25 - a^2)(a^2 - 25)] - (a^2 + 14 - 16)/(a^2 - 25)

Теперь объединим все числители в одну дробь:
[(2a^2 + 12a)(25 - a^2) + (8a - 9)(a^2 - 25) - (a^2 + 14 - 16)]/[(a^2 - 25)(25 - a^2)]

Далее упростим полученную дробь в числителе:
[(50a^2 - 2a^4 + 300a - 12a^3) + (8a^3 - 200a - 9a^2 + 225) - (a^2 + 14 - 16)]/[(a^2 - 25)(25 - a^2)]

Раскроем скобки:
(50a^2 - 2a^4 + 300a - 12a^3 + 8a^3 - 200a - 9a^2 + 225 - a^2 - 14 + 16)/[(a^2 - 25)(25 - a^2)]

Приведем подобные слагаемые:
(-2a^4 - 12a^3 + 58a^2 + 100a + 227)/[(a^2 - 25)(25 - a^2)]

После упрощения числитель и знаменатель не имеют общих множителей, поэтому окончательный ответ имеет вид:
(-2a^4 - 12a^3 + 58a^2 + 100a + 227)/[(a^2 - 25)(25 - a^2)]

Демонстрация: Найдите упрощенную форму выражения (2a^2 + 12a)/(a^2 - 25) + (8a - 9)/(25 - a^2) - (a^2 + 14 - 16)/(a^2 - 25).

Совет: При решении подобных задач важно внимательно раскрывать скобки и правильно приводить дроби к общему знаменателю. Также следует быть внимательным при объединении числителей в одну дробь, чтобы не допустить ошибок.

Дополнительное задание: Упростите выражение (3x^2 + 7x)/(x^2 - 4) - (5x^2 - 2x + 1)/(4 - x^2) + (x^2 + 5 + 3)/(x^2 - 4).