What is the result of the expression 6⋅(tan(2π−t)−sin(π+t))/cot(π/2+t)+sin(t)?

Предмет вопроса: Вычисление сложного выражения

Пояснение: Для решения данной задачи, нам потребуется использовать тригонометрические функции и основные тригонометрические свойства. Давайте последовательно разберем выражение шаг за шагом.

1. Начнем с упрощения выражения внутри скобок. Мы должны рассмотреть каждую тригонометрическую функцию по отдельности.
* tan(2π−t): Мы знаем, что tan(π - t) = -tan(t) по свойству тангенса. Поэтому tan(2π−t) = -tan(t).
* sin(π+t): Мы знаем, что sin(π + t) = -sin(t) по свойству синуса.

Теперь, заменим эти значения в исходном выражении и упростим дальше:

6⋅(tan(2π−t)−sin(π+t))/cot(π/2+t)+sin(t)
= 6⋅(-tan(t) - (-sin(t)))/cot(π/2+t)+sin(t)
= 6⋅(-tan(t) + sin(t))/cot(π/2+t)+sin(t)

2. Далее, заменим cot(π/2 + t) на 1/tan(π/2 + t) с использованием тригонометрических свойств:
= 6⋅(-tan(t) + sin(t))/(1/tan(π/2 + t))+sin(t)
= 6⋅(-tan(t) + sin(t))⋅tan(π/2 + t) + sin(t)

3. Применим дистрибутивное свойство, чтобы упростить выражение дальше:
= 6⋅(-tan(t)⋅tan(π/2 + t) + sin(t)⋅tan(π/2 + t)) + sin(t)

4. Заменим значения тангенса с использованием тригонометрических свойств:
= 6⋅(tan(π/2 + t) - tan(t)⋅tan(π/2 + t)) + sin(t)

5. Применим формулу для разности тангенсов: tan(a - b) = (tan(a) - tan(b))/(1 + tan(a)⋅tan(b)):
= 6⋅[(tan(π/2 + t) - tan(t))/(1 + tan(π/2 + t)⋅tan(t))] + sin(t)

6. Заменим значения тангенсов и выражение в квадратных скобках:
= 6⋅[(1/tan(t) - tan(t))/(1 + 1/tan(t)⋅tan(t))] + sin(t)
= 6⋅[(1/tan(t) - tan(t))/(1 + 1)] + sin(t)
= 6⋅(1/tan(t) - tan(t))/2 + sin(t)

7. Упростим выражение в числителе:
= (6/tan(t) - 6⋅tan(t))/2 + sin(t)

8. Разделим числитель на знаменатель:
= 3/tan(t) - 3⋅tan(t)/2 + sin(t)

Таким образом, результатом данного выражения является 3/tan(t) - 3⋅tan(t)/2 + sin(t).

Совет: Для лучшего понимания тригонометрических функций и их свойств полезно изучать их графики и особенности. По запросу "тригонометрические функции" вы сможете найти много теоретической информации и интерактивных графиков для закрепления материала.

Задача для проверки: Вычислите значение данного выражения при заданном значении t = π/4.