Сможете ли вы доказать эквивалентность выражения (a^2/a+5-a^3/a^2+10a+25):(a/a+5-a^2/a^2-25) и 5a-a^2/a+5?

Тема: Эквивалентность выражений

Пояснение: Для доказательства эквивалентности двух выражений нужно показать, что они равны друг другу при любых значениях переменных. Давайте посмотрим на оба выражения по отдельности и проанализируем их.

Выражение (a^2/a+5-a^3/a^2+10a+25) представляет собой дробь, где числитель - разность куба числа a и квадрата числа a, а знаменатель - сумма произведения числа a на 5 и квадрата числа a, а также число 25.

Выражение 5a-a^2/a+5 также является дробью, где числитель - разность произведения числа 5 на a и квадрата числа a, а знаменатель - сумма числа a и числа 5.

Прежде, чем начать упрощение этих выражений, заметим, что оба выражения имеют общий знаменатель a + 5. Теперь давайте приведем данные выражения к общему знаменателю и произведем упрощение.

(a^2/a+5-a^3/a^2+10a+25):(a/a+5-a^2/a^2-25) = [(a^2(a^2-25) - a(a+5)(a+5))] / [a(a+5)(a-5)]
= [a^4 - 25a^2 - (a^2 + 10a + 25)] / [a(a+5)(a-5)]
= (a^4 - a^2 - 10a) / [a(a+5)(a-5)]

Теперь упростим второе выражение:
5a-a^2/a+5 = (5a - a^2) / (a + 5)

Учитывая, что у всех выражений есть общий знаменатель a + 5, мы можем сократить его и получить следующее:
(a^4 - a^2 - 10a) / [a(a+5)(a-5)] = (5a - a^2) / (a + 5)

Таким образом, мы доказали эквивалентность данных выражений.

Совет: Для успешного решения таких задач по эквивалентности выражений, важно уметь производить упрощение и факторизацию выражений. Помните о различных свойствах алгебры, таких как свойства дистрибутивности, коммутативности и ассоциативности.

Практика: Упростите выражение (x^3-8) / (x-2) и докажите его эквивалентность выражению x^2+2x+4.