Решите тест по алгебре для 9 класса Уравнения и неравенства с одной переменной . Вариант 1: 1. Преобразуйте уравнение

Тема вопроса: Алгебра - Уравнения и неравенства с одной переменной

Объяснение:

1. а) Для преобразования уравнения "х^3 - 81х = 0" мы можем использовать факторизацию, чтобы получить его полиномиальное представление: х(х^2 - 81) = 0. Затем мы замечаем, что второй множитель является разностью квадратов: (х + 9)(х - 9) = 0. Таким образом, уравнение имеет два решения: х = -9 и х = 9.

б) Дано уравнение " х^2 = 9". Чтобы найти решения, мы можем выразить их в виде квадратного корня: х = ± √9. Таким образом, уравнение имеет два решения: х = 3 и х = -3.

2. а) Для решения неравенства "2х^2 - 13х + 6 < 0" нам нужно найти интервалы, в которых это неравенство истинно. Мы можем использовать метод факторизации или график, чтобы найти решения. Здесь мы видим, что неравенство истинно для интервала (2, 3) и (6, ∞).

б) Уравнение "х^2 > 9" может быть решено, выражая его как неравенство: (х - 3)(х + 3) > 0. Затем мы можем построить знаковую линию и определить интервалы, в которых это неравенство истинно. Здесь мы видим, что неравенство истинно для интервалов (-∞, -3) и (3, ∞).

3. а) Дано неравенство "(х + 8)(х - 4)(х - 7) > 0". Чтобы решить его с помощью метода интервалов, мы можем использовать знаковую линию и установить интервалы, в которых неравенство истинно. Здесь неравенство истинно для интервалов (-∞, -8) и (4, 7).

б) Дано неравенство "(х + 8)(х - 4)(х - 7) < 0". Чтобы решить его с помощью метода интервалов, мы можем использовать знаковую линию и установить интервалы, в которых неравенство истинно. Здесь неравенство истинно для интервала (-8, 4).

4. Для нахождения решения биквадратного уравнения "х^4 - 19х^2 + 48 = 0" мы можем заметить, что это уравнение квадратного корня. Мы можем представить его в виде (х^2 - 3х - 16)(х^2 + 3х - 3) = 0. Затем мы решаем каждый множитель как линейное уравнение. Таким образом, решениями данного уравнения будут х = -4, х = 4, х = -1 + √10 и х = -1 - √10.

5. Чтобы уравнение "3х^2 + тх + 3 = 0" имело два корня, дискриминант должен быть больше нуля. Мы можем использовать формулу дискриминанта D = т^2 - 4ac и приравнять его к нулю. Таким образом, т^2 - 4(3)(3) > 0. Решая это неравенство, мы получаем, что т должно принадлежать интервалу (-∞, -√27) объединение (√27, ∞), где √27 ≈ 5.196.

6. Для определения области определения функции нам нужно обратить внимание на значения переменных, для которых функция определена и имеет смысл. Например, при делении на переменную, область определения будет состоять из всех значений переменной, кроме тех, которые делают знаменатель равным нулю или которые приводят к неопределенности (например, корень из отрицательного числа). В этом случае, чтобы определить область определения функции, мы должны учитывать все действия в функции и исключать неподходящие значения переменной.

7. Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций "у = х" и "у = х^2 - 3х + 1", мы должны приравнять эти функции: х = х^2 - 3х + 1. Затем мы можем переписать уравнение в виде квадратного уравнения: х^2 - 4х + 1 = 0. Решая это уравнение, мы получаем два значения х, которые являются координатами точек пересечения графиков функций.

Совет: Всегда помните о принципах алгебры и правилах решения уравнений и неравенств. Применяйте методы факторизации, метод интервалов и дискриминант, чтобы упростить уравнения и неравенства. Также уделите внимание определению области определения функции и графическому представлению уравнений и неравенств. Практикуйтесь в решении различных задач, чтобы улучшить свои навыки и понимание алгебры.

Проверочное упражнение: Решите уравнение "2х^2 + 5х + 2 = 0".

Тема вопроса: Алгебра - Уравнения и неравенства с одной переменной

Инструкция:
1. (а) Для преобразования уравнения х³ - 81х = 0, можно сначала вынести общий множитель: х(х² - 81) = 0. Затем используем разность квадратов: x(х - 9)(х + 9) = 0. Получаем три возможных решения: x = 0, x = 9, x = -9.

(б) В данном случае преобразование уравнения не требуется, так как оно уже находится в виде (x - a)(x - b) = 0. Решаем каждую скобку по отдельности: (x - 3)(x + 2) < 0. Получаем два набора интервалов: x < -2 и 3 < x < ∞. Объединяя эти интервалы, получаем решение -∞ < x < -2, 3 < x < ∞.

2. (а) Для решения неравенства 2х² - 13х + 6 < 0 найдем его корни: (2x - 1)(x - 6) < 0. Точки, где функция меняет знак, находятся в x = 1/2 и x = 6. Разбиваем числовую ось на три интервала: (-∞, 1/2), (1/2, 6), (6, +∞). Ответом будет интервал (1/2, 6).

(б) Для решения неравенства х² > 9 используем тот факт, что квадратные корни по модулю равны. Получаем (x - 3)(x + 3) > 0. Выделяем точки, где функция меняет знак: x = -3 и x = 3. Разбиваем числовую ось на три интервала: (-∞, -3), (-3, 3), (3, +∞). Ответом будет объединение интервалов (-∞, -3) и (3, +∞).

3. (а) Найдем точки, где функция меняет знак: x = -8, x = 4 и x = 7. Разбиваем числовую ось на четыре интервала: (-∞, -8), (-8, 4), (4, 7), (7, +∞). Знаки интервалов соответственно: -, +, -, +. Так как неравенство имеет знак > 0, искомым решением будет объединение интервалов (-8, 4) и (7, +∞).

(б) Для неравенства (x + 8)(x - 4)(x - 7) < 0 получаем те же точки, где функция меняет знак: x = -8, x = 4 и x = 7. Разбиваем числовую ось на четыре интервала: (-∞, -8), (-8, 4), (4, 7), (7, +∞). Знаки интервалов соответственно: -, +, -, +. Неравенство имеет знак < 0, поэтому искомым решением будет интервал (-8, 4).

4. Чтобы решить биквадратное уравнение x⁴ - 19x² + 48 = 0, вводим замену: y = x². Получаем уравнение y² - 19y + 48 = 0, которое можно решить как квадратное уравнение: (y - 16)(y - 3) = 0. Получаем два значения y: y = 16 и y = 3. Подставляем обратно в y = x² и получаем четыре возможных решения для x: x₁ = 4, x₂ = -4, x₃ = √3, x₄ = -√3.

5. Для того, чтобы уравнение 3x² + tx + 3 = 0 имело два корня, его дискриминант (t² - 4ac) должен быть больше нуля. В нашем случае a = 3, b = t, c = 3. Подставляем значения в формулу дискриминанта: t² - 4(3)(3) > 0. Упрощаем выражение: t² - 36 > 0. Решаем неравенство: t > 6 или t < -6. Требуется найти значения t, которые больше 6 или меньше -6.

6. Для определения области определения функции, нужно найти все значения, при которых функция неопределена. Обычно это происходит, когда вещественное число находится в знаменателе или в квадратном корне с отрицательным аргументом. Проверяем функцию на такие случаи и обозначаем все значения, для которых функция не определена.

7. Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций у = x и у = x² - 3x + 1, нужно решить уравнения, полученные при приравнивании функций друг к другу. Получаем уравнение x = x² - 3x + 1. Приводим его к виду x² - 4x + 1 = 0 и решаем его, используя квадратное уравнение или графический метод. В результате получаем две точки пересечения графиков.

Совет:
- При решении уравнений и неравенств с одной переменной, полезно помнить об алгебраических преобразованиях, таких как вынос общего множителя, факторизация, метод интервалов и другие методы, которые позволяют получить более простое уравнение или неравенство.
- Пользуйтесь графиками функций для наглядного представления решений уравнений и неравенств. Графики могут помочь визуализировать точки пересечения и области определения.

Задание: Ответьте на следующий вопрос: Какое значение t обеспечит два корня уравнения 2t² - 3t - 2 = 0?