Подтвердите, что последовательность an= frac{2n+9}{n+3}, где an - n-й член последовательности, является убывающей

Задача: Подтвердите, что последовательность an= \frac{2n+9}{n+3}, где an - n-й член последовательности, является убывающей.
Описание: Для того чтобы доказать, что последовательность an является убывающей, мы должны показать, что каждый последующий член последовательности меньше предыдущего.

Давайте проверим это, вычислив разность an+1 - an:
an+1 - an = \frac{2(n+1)+9}{n+1+3} - \frac{2n+9}{n+3}

Чтобы упростить это выражение, умножим каждую дробь на (n+3)(n+1), чтобы избавиться от знаменателей:
an+1 - an = ((2(n+1)+9)(n+3) - (2n+9)(n+1)) / ((n+1+3)(n+3))

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:
an+1 - an = (2n^2 + 10n + 6 + 9n + 27 - 2n^2 - 7n - 9) / (n^2 + 4n + 4)

Сократим подобные члены в числителе:
an+1 - an = (12n + 24) / (n^2 + 4n + 4)

Выражение 12n + 24 всегда положительное, поскольку умножение положительного числа на положительное число дает положительный результат.

Теперь рассмотрим выражение в знаменателе n^2 + 4n + 4. Мы можем записать его в виде полного квадрата: (n+2)^2. Значит, знаменатель всегда положителен.

Итак, и числитель, и знаменатель являются положительными числами. Поэтому разность an+1 - an будет всегда положительной. Это означает, что последовательность an является убывающей.

Совет: Чтобы более легко понять и выполнить задачу, вам может быть полезно вычислить несколько первых членов последовательности и убедиться, что они действительно убывают. Вы также можете построить график последовательности, чтобы визуально увидеть, что она убывает.

Проверочное упражнение: Вычислите первые пять членов последовательности an= \frac{2n+9}{n+3}. Докажите, что эта последовательность является убывающей.